试题

题目：
青果学院（2013·厦门）如图所示，已知四边形OABC是菱形，∠O=60°，点M是边OA的中点，以点O为圆心，r为半径作⊙O分别交OA，OC于点D，E，连接BM．若BM=
7
，
DE
的长是
3
π
3
．求证：直线BC与⊙O相切．
答案
青果学院证明：如图，过点O作OF⊥BC于F，过点B作BG⊥OA于G，则四边形BGOF为矩形，OF=BG．
设菱形OABC的边长为2a，则AM=
1
2
OA=a．
∵菱形OABC中，AB∥OC，
∴∠BAG=∠COA=60°，∠ABG=90°-60°=30°，
∴AG=
1
2
AB=a，BG=
3
AG=
3
a．
在Rt△BMG中，∵∠BGM=90°，BG=
3
a，GM=a+a=2a，BM=
7
，
∴BG2+GM2=BM2，即（
3
a）2+（2a）2=（
7
）2，
解得a=1，
∴OF=BG=
3
．
∵
DE
的长=
60πr
180
=
3
π
3
，
∴r=
3
，
∴OF=r=
3
，即圆心O到直线BC的距离等于圆的半径r，
∴直线BC与⊙O相切．
青果学院证明：如图，过点O作OF⊥BC于F，过点B作BG⊥OA于G，则四边形BGOF为矩形，OF=BG．
设菱形OABC的边长为2a，则AM=
1
2
OA=a．
∵菱形OABC中，AB∥OC，
∴∠BAG=∠COA=60°，∠ABG=90°-60°=30°，
∴AG=
1
2
AB=a，BG=
3
AG=
3
a．
在Rt△BMG中，∵∠BGM=90°，BG=
3
a，GM=a+a=2a，BM=
7
，
∴BG2+GM2=BM2，即（
3
a）2+（2a）2=（
7
）2，
解得a=1，
∴OF=BG=
3
．
∵
DE
的长=
60πr
180
=
3
π
3
，
∴r=
3
，
∴OF=r=
3
，即圆心O到直线BC的距离等于圆的半径r，
∴直线BC与⊙O相切．
考点梳理
切线的判定；菱形的性质；弧长的计算．
过点O作OF⊥BC于F，过点B作BG⊥OA于G，则四边形BGOF为矩形，OF=BG．设菱形OABC的边长为2a，先在Rt△BMG中，利用勾股定理得出BG2+GM2=BM2，即（
3
a）2+（2a）2=（
7
）2，求得a=1，得到OF=
3
，再根据弧长公式求出r=
3
，则圆心O到直线BC的距离等于圆的半径r，从而判定直线BC与⊙O相切．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，弧长的计算公式，切线的判定，综合性较强，难度适中，利用菱形的性质及勾股定理求出a的值是解题的关键．
证明题；压轴题．
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