试题

（2013·咸宁）如图，△ABC内接于⊙O，OC和AB相交于点E，点D在OC的延长线上，且∠B=∠D=∠BAC=30°．
（1）试判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）AB=6

3

，求⊙O的半径．

解：（1）直线AD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OA．
∵∠B=30°，
∴∠AOC=2∠B=60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠D=90°，
即OA⊥AD，
∵OA为半径，
∴AD是⊙O的切线．

（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠ACO=60°，AC=OA，
∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ACE=90°，
∴OC⊥AB，
又∵OC是⊙O的半径，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

×6

3

=3

3

，
在Rt△ACE中，sin∠ACE=

AE

AC

=sin 60°，
∴AC=6，
∴⊙O的半径为6．
解：（1）直线AD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OA．
∵∠B=30°，
∴∠AOC=2∠B=60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠D=90°，
即OA⊥AD，
∵OA为半径，
∴AD是⊙O的切线．

（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠ACO=60°，AC=OA，
∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ACE=90°，
∴OC⊥AB，
又∵OC是⊙O的半径，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

×6

3

=3

3

，
在Rt△ACE中，sin∠ACE=

AE

AC

=sin 60°，
∴AC=6，
∴⊙O的半径为6．