试题

题目：
（2013·徐汇区二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
4
5
，将△ABC绕点A旋转后，点C落在射线BA上，点B落到点D处，那么sin∠ADB的值等于
5
5
或
2
5
5
5
5
或
2
5
5
．
答案
5
5
或
2
5
5

青果学院解：∵∠C=90°，sinA=
4
5
，
∴设BC=4a，AB=5a，
则AC=
(5a)2-(4a)2
=3a，
根据旋转的性质，AB=AD=5a，AC=AC′=3a，BC=C′D=4a，
①如图1，逆时针旋转时，BC′=AB+AC′=5a+3a=8a，
根据勾股定理，BD=
BC′2+C′D2
=
(8a)2+(4a)2
=4
5
a，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴sin∠ADB=sin∠ABD=
C′D
BD
=
4a
4
5
a
=
5
5
；
②如图2，顺时针旋转时，BC′=AB-AC′=5-3=2，
根据勾股定理，BD=
BC′2+C′D2
=
(2a)2+(4a)2
=2
5
a，
过点A作AE⊥BD于E，则BE=
1
2
BD=
1
2
×2
5
a=
5
a，
在Rt△ABE中，AE=
AB2-BE2
=
(5a)2-(
5
a)2
=2
5
a，
∴sin∠ADB=
AE
AD
=
2
5
a
5a
=
2
5
5
；
综上所述，sin∠ADB的值为
5
5
或
2
5
5
．
故答案为：
5
5
或
2
5
5
．
考点梳理
旋转的性质．
作出图形，设BC=4a，AB=5a，求出AC，再根据旋转的性质可得AB=AD，AC=AC′，BC=C′D，然后分①逆时针旋转时，求出BC′，再利用勾股定理列式求出BD，根据等边对等角求出∠ADB=∠ABD，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解；②顺时针旋转时，求出BC′，再利用勾股定理列式求出BD，过点A作AE⊥BD于E，根据等腰三角形三线合一的性质求出BE，再利用勾股定理列式求出AE，然后根据锐角的正弦值等于对边比斜边列式计算即可得解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边对等角的性质，等腰三角形三线合一的性质，难点在于要分情况讨论并找出∠ADB所在的直角三角形，作出图形更形象直观．
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