试题

一方有难，八方支援．雅安地震后，全国各地纷纷为雅安捐款捐物．如图①，一条笔直的公路上有A、B、C三地，B、C两地相距150km，甲车满载救援物资从B地驶往C地，乙车卸完救援物资从C地返回B地，两车同时出发，沿公路匀速相向而行．因车流量较大，为防止交通拥塞，特在A地设有交通指挥中心．甲、乙两车到A地的距离y₁、y₂（km）与行驶时间x（h）的函数图象如图②所示．根据图象进行以下探究：
图象理解：
（1）请在图①中标出A地的大致位置．
（2）求图②中M点的坐标，并解释该点的实际意义．
（3）在图②中补全甲车的函数图象，求甲车到A的距离y₁与行驶时间x的函数关系式．
问题解决：
（4）若指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在20km之内（含20km）时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间．

解：（1）A地位置如图所示．使点A满足AB：AC=2：3；


（2）乙车的速度150÷2=75千米/时，
90÷75=1.2，
∴M（1.2，0）；
所以点M表示乙车1.2小时到达A地；

（3）甲车的函数图象如图所示：

甲车的速度60÷1=60（千米/时），
甲车从B到C所用时间为：150÷60=2.5（小时），
将（0，60），（1，0），代入y₁=kx+b，
得：

b=60 k+b=0

，
解得：

k=-60 b=60

，
故当0≤x≤1时，y₁=-60x+60；
将（2.5，90），（1，0），代入y₁=ax+c，
得：

2.5a+c=90 a+c=0

，
解得：

a=60 c=-60

，
故当1＜x≤2.5时，y₁=60x-60；

（4）乙车到A地的距离y₂与行驶时间x（h）的函数关系式为：
将（0，90），（1.2，0），代入y₂=dx+e，

e=90 1.2d+e=0

，
解得：

e=90 d=-75

，
故当0≤x≤1.2时，y₂=-75x+90；
将（2，60），（1.2，0），代入y₂=fx+r，

1.2f+r=0 2f+r=60

，
解得：

f=75 r=-90

，
故当1.2＜x≤2时，y₂=75x-90；
由题意得甲车与指挥中心的通话时间为：

60x-60≤20 -60x+60≤20

，
解得：

2

3

≤x≤

4

3

，
乙车与指挥中心的通话时间：

-75x+90≤20 75x-90≤20

，
解得

14

15

≤x≤

22

15

，
即

14

15

≤x≤

4

3

，
故两车同时与指挥中心通话的时间为

4

3

-

14

15

=

2

5

小时．
解：（1）A地位置如图所示．使点A满足AB：AC=2：3；


（2）乙车的速度150÷2=75千米/时，
90÷75=1.2，
∴M（1.2，0）；
所以点M表示乙车1.2小时到达A地；

（3）甲车的函数图象如图所示：

甲车的速度60÷1=60（千米/时），
甲车从B到C所用时间为：150÷60=2.5（小时），
将（0，60），（1，0），代入y₁=kx+b，
得：

b=60 k+b=0

，
解得：

k=-60 b=60

，
故当0≤x≤1时，y₁=-60x+60；
将（2.5，90），（1，0），代入y₁=ax+c，
得：

2.5a+c=90 a+c=0

，
解得：

a=60 c=-60

，
故当1＜x≤2.5时，y₁=60x-60；

（4）乙车到A地的距离y₂与行驶时间x（h）的函数关系式为：
将（0，90），（1.2，0），代入y₂=dx+e，

e=90 1.2d+e=0

，
解得：

e=90 d=-75

，
故当0≤x≤1.2时，y₂=-75x+90；
将（2，60），（1.2，0），代入y₂=fx+r，

1.2f+r=0 2f+r=60

，
解得：

f=75 r=-90

，
故当1.2＜x≤2时，y₂=75x-90；
由题意得甲车与指挥中心的通话时间为：

60x-60≤20 -60x+60≤20

，
解得：

2

3

≤x≤

4

3

，
乙车与指挥中心的通话时间：

-75x+90≤20 75x-90≤20

，
解得

14

15

≤x≤

22

15

，
即

14

15

≤x≤

4

3

，
故两车同时与指挥中心通话的时间为

4

3

-

14

15

=

2

5

小时．