试题

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD平分∠ADC，过点A作AF∥BD，交CD的延长线于点F，若∠F=

1

2

∠C．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）当∠BDC=30°，AD=5时，求CD的长．

（1）证明：∵BD平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠BDC．
∵AF∥BD，
∴∠F=∠BDC，
∴∠ADC=2∠F．（2分）
又∵∠F=

1

2

∠C，
∴∠ADC=∠C．（3分）
则梯形ABCD是等腰梯形（同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形）（5分）

（2）解：由（1）知∠C=2∠F=2∠BDC=60°，BC=AD=5，（6分）
在△BCD中，∵∠C=60°，∠BDC=30°，
∴∠DBC=90°．（7分）
则CD=2BC=10即为所求．（8分）
（1）证明：∵BD平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠BDC．
∵AF∥BD，
∴∠F=∠BDC，
∴∠ADC=2∠F．（2分）
又∵∠F=

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2

∠C，
∴∠ADC=∠C．（3分）
则梯形ABCD是等腰梯形（同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形）（5分）

（2）解：由（1）知∠C=2∠F=2∠BDC=60°，BC=AD=5，（6分）
在△BCD中，∵∠C=60°，∠BDC=30°，
∴∠DBC=90°．（7分）
则CD=2BC=10即为所求．（8分）