试题

（A类8分）在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F．试判断AF与CE是否相等，并说明理由．
（B类9分）如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=CD，CF⊥DE，垂足为F．试说明AD与CF是否相等，并说明理由．
（C类10分）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，CE⊥AC且与AB的延长线交于点E．试说明四边形AECD是等腰梯形．

解：A类：AF=CE．
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=CB，∠A=∠C，∠ADC=∠ABC
∵∠ADF=

1

2

∠ADC，∠CBE=

1

2

∠ABC
∴∠ADF=∠CBE
在△ADF和△CBE
AD=CB，∠A=∠C
∴△ADF≌△CBE
∴∠ADF=∠CBE
∴AF=CE．
（B类）AD=CF
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠AED=∠FDC，∠A=90°
在△ADE和△FCD中
∵∠CFD=∠A=90°，DE=CD，∠AED=∠FDC
∴△ADE≌△FCD
∴AD=CF
（C类10分）
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AC平分∠DAB
∵AB∥CD，∠DAB=60°
∴∠CAE=

1

2

∠DAB=30°．
∵CE⊥AC
∴∠E=90°-∠CAE=90°-30°=60°
∴∠DAB=∠E
∵∠DAB=∠E，AB∥CD
∴四边形AECD是等腰梯形．
解：A类：AF=CE．
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=CB，∠A=∠C，∠ADC=∠ABC
∵∠ADF=

1

2

∠ADC，∠CBE=

1

2

∠ABC
∴∠ADF=∠CBE
在△ADF和△CBE
AD=CB，∠A=∠C
∴△ADF≌△CBE
∴∠ADF=∠CBE
∴AF=CE．
（B类）AD=CF
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠AED=∠FDC，∠A=90°
在△ADE和△FCD中
∵∠CFD=∠A=90°，DE=CD，∠AED=∠FDC
∴△ADE≌△FCD
∴AD=CF
（C类10分）
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AC平分∠DAB
∵AB∥CD，∠DAB=60°
∴∠CAE=

1

2

∠DAB=30°．
∵CE⊥AC
∴∠E=90°-∠CAE=90°-30°=60°
∴∠DAB=∠E
∵∠DAB=∠E，AB∥CD
∴四边形AECD是等腰梯形．