试题

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF．当tan∠ADE=

1

3

时，求EF的长．

解：过D作DG⊥BC于G．
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=∠DGB=∠A=90°，
∴四边形ABGD是矩形，
∵AB=AD=6，
∴四边形ABGD是正方形，
∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC且AD=GD，
在△ADE和△GDC中，
∵

∠ADE=∠GDC AD=GD ∠A=∠DGC

，
∴△ADE≌△GDC（ASA），
∴DE=DC，AE=GC．
在△EDF和△CDF中，
∵

DE=DC  ∠EDF=∠CDF  DF=DF

，
∴△EDF≌△CDF（SAS），
∴EF=CF，
∵tan∠ADE=

AE

AD

=

1

3

，
∴AE=GC=

1

3

×6=2．
∴BC=BG+CG=AD+AE=8，
设CF=x，则BF=8-CF=8-x，BE=4．
由勾股定理得：x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5，
即EF=5．
解：过D作DG⊥BC于G．
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=∠DGB=∠A=90°，
∴四边形ABGD是矩形，
∵AB=AD=6，
∴四边形ABGD是正方形，
∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC且AD=GD，
在△ADE和△GDC中，
∵

∠ADE=∠GDC AD=GD ∠A=∠DGC

，
∴△ADE≌△GDC（ASA），
∴DE=DC，AE=GC．
在△EDF和△CDF中，
∵

DE=DC  ∠EDF=∠CDF  DF=DF

，
∴△EDF≌△CDF（SAS），
∴EF=CF，
∵tan∠ADE=

AE

AD

=

1

3

，
∴AE=GC=

1

3

×6=2．
∴BC=BG+CG=AD+AE=8，
设CF=x，则BF=8-CF=8-x，BE=4．
由勾股定理得：x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5，
即EF=5．