试题

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，过D点作DE⊥BC于E，过B点作BF⊥AB交DE于F，连接CF．
（1）若DE平分∠ADC，DF=2，AD=3

2

，求四边形ABFD的面积；
（2）若DF=BF，求证：∠BCF=45°-

1

2

∠FDC．

（1）解：过F点作FM⊥AD于M，
∴四边形ABFM为矩形，
∴BF=AM，
∵DE平分∠ADC，
∴∠MDF=

1

2

∠ADC=45°，
在Rt△DMF中，FM=DF·sin∠MDF=

2

，
∴DM=MF=

2

∴AM=AD-MD=2

2

，
∴BF=AM=2

2

，
∴S四边形ABFD=

1

2

(BF+AD)·MF=

1

2

(2

2

+3

2

)·

2

=5，
答：四边形ABFD的面积是5．

（2）证明：延长BF交CD于N，
∴四边形ABND为矩形，
∴∠FND=∠FEB=90°，
在△BFE和△DFN中

∠BEF=∠FND ∠BFE=∠DFN BF=DF

，
∴△BFE≌△DFN，
∴FE=FN，
在Rt△CFE和Rt△CFN中

CF=CF EF=FN

，
∴Rt△CFE≌Rt△CFN（HL），
∴∠ECF=∠NCF=

1

2

∠ECN，
∴∠BCN=2∠BCF，
∵∠BCN+∠EBF=90°，
∴2∠BCF+∠FDC=90°，
∴∠BCF=45°-

1

2

∠FDC．
（1）解：过F点作FM⊥AD于M，
∴四边形ABFM为矩形，
∴BF=AM，
∵DE平分∠ADC，
∴∠MDF=

1

2

∠ADC=45°，
在Rt△DMF中，FM=DF·sin∠MDF=

2

，
∴DM=MF=

2

∴AM=AD-MD=2

2

，
∴BF=AM=2

2

，
∴S四边形ABFD=

1

2

(BF+AD)·MF=

1

2

(2

2

+3

2

)·

2

=5，
答：四边形ABFD的面积是5．

（2）证明：延长BF交CD于N，
∴四边形ABND为矩形，
∴∠FND=∠FEB=90°，
在△BFE和△DFN中

∠BEF=∠FND ∠BFE=∠DFN BF=DF

，
∴△BFE≌△DFN，
∴FE=FN，
在Rt△CFE和Rt△CFN中

CF=CF EF=FN

，
∴Rt△CFE≌Rt△CFN（HL），
∴∠ECF=∠NCF=

1

2

∠ECN，
∴∠BCN=2∠BCF，
∵∠BCN+∠EBF=90°，
∴2∠BCF+∠FDC=90°，
∴∠BCF=45°-

1

2

∠FDC．