试题

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD．
求证：（1）AE=BE；   （2）CD=AD+BC．

（1）证明：如图所示：

取CD中点F，连接EF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠DCB=180°，
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠EDC=∠ADE=

1

2

∠ADC，∠DCE=

1

2

∠DCB，
∴∠EDC+∠DCE=90°，
∴∠DEC=180°-90°=90°，
∵F为CD中点，
∴DF=EF=CF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠CDE=∠DEF，
∵∠EDC=∠ADE，
∴∠ADE=∠DEF，
∴AD∥EF，
∵AD∥BC，
∴AD∥EF∥BC，
∵CF=DF，
∴AE=BE；

（2）证明：∵AD∥BC，AE=BE，CF=DF，
∴EF=

1

2

（AD+BC），
∵由（1）知EF=DF=CF=

1

2

CD，
∴CD=AD+BC．
（1）证明：如图所示：

取CD中点F，连接EF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠DCB=180°，
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠EDC=∠ADE=

1

2

∠ADC，∠DCE=

1

2

∠DCB，
∴∠EDC+∠DCE=90°，
∴∠DEC=180°-90°=90°，
∵F为CD中点，
∴DF=EF=CF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠CDE=∠DEF，
∵∠EDC=∠ADE，
∴∠ADE=∠DEF，
∴AD∥EF，
∵AD∥BC，
∴AD∥EF∥BC，
∵CF=DF，
∴AE=BE；

（2）证明：∵AD∥BC，AE=BE，CF=DF，
∴EF=

1

2

（AD+BC），
∵由（1）知EF=DF=CF=

1

2

CD，
∴CD=AD+BC．