试题

如图，在直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，将纸片沿过点A的直线折叠，使点B与点D重合，折痕为AG．连接DG并展开纸片．
（1）判断四边形ABGD的形状并说明你的理由；
（2）连接BD，交AG于点E，作∠BAG的平分线，交BD于点F，求证：EF+

1

2

AG=AB．

解：（1）四边形ABGD是正方形．
∵∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠BAD=90°．
由沿AG折叠后△ABG与△ADG重合，知AB=AD，∠ADG=90°．
∴四边形ABGD是矩形，且邻边AB，AD相等．
∴四边形ABGD是正方形；（4分）

（2）证明：过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABGD中，AG⊥BD于点E，
∴AE=

1

2

AG，∠ABD=∠GBD=45°．（6分）
∵AF平分∠BAG，∴EF=MF．（1分）
又∵AF=AF，∴Rt△AMF≌Rt△AEF，∴AE=AM（8分）（1分）
∠MFB=∠ABF=45°．∴MF=MB，∴MB=EF．
∴EF+

1

2

AG=MB+AE=MB+AM=AB．（10分）
解：（1）四边形ABGD是正方形．
∵∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠BAD=90°．
由沿AG折叠后△ABG与△ADG重合，知AB=AD，∠ADG=90°．
∴四边形ABGD是矩形，且邻边AB，AD相等．
∴四边形ABGD是正方形；（4分）

（2）证明：过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABGD中，AG⊥BD于点E，
∴AE=

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AG，∠ABD=∠GBD=45°．（6分）
∵AF平分∠BAG，∴EF=MF．（1分）
又∵AF=AF，∴Rt△AMF≌Rt△AEF，∴AE=AM（8分）（1分）
∠MFB=∠ABF=45°．∴MF=MB，∴MB=EF．
∴EF+

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AG=MB+AE=MB+AM=AB．（10分）