试题

（2009·眉山）在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连接EF、EC、BF、CF．
（1）判断四边形AECD的形状（不证明）；
（2）在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明；
（3）若CD=2，求四边形BCFE的面积．

解：（1）平行四边形（2分）；

（2）△BEF≌△CDF（3分）或（△AFB≌△EBC≌△EFC）
证明：连接DE，
∵AB=2CD，E为AB中点，
∴DC=EB，
又∵DC∥EB，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵AB⊥BC，
∴四边形BCDE为矩形，
∴∠AED=90°，∠CDE=∠BED=90°，BE=CD，
在Rt△AED中，∠A=60°，F为AD的中点，
∴AF=

1

2

AD=EF，
∴△AEF为等边三角形，
∴∠DFE=180°-60°=120°，
∵EF=DF，
∴∠FDE=∠FED=30°．
∴∠CDF=∠BEF=120°，
在△BEF和△FDC中，

DF=EF ∠CDF=∠BEF=120° DC=BE

，
∴△BEF≌△CDF（SAS）．（6分）（其他情况证明略）

（3）若CD=2，则AD=4，
∵∠A=60°，
∴sin60°=

DE

AD

=

3

2

，
∴DE=AD·

3

2

=2

3

∴DE=BC=2

3

，
∵四边形AECD为平行四边形，
∴S_△ECF与S_{四边形AECD}等底同高，
∴S_△ECF=

1

2

S_{四边形AECD}=

1

2

CD·DE=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
S_△CBE=

1

2

BE·BC=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
∴S_{四边形BCFE}=S_△ECF+S_△EBC=2

3

+2

3

=4

3

．（9分）
解：（1）平行四边形（2分）；

（2）△BEF≌△CDF（3分）或（△AFB≌△EBC≌△EFC）
证明：连接DE，
∵AB=2CD，E为AB中点，
∴DC=EB，
又∵DC∥EB，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵AB⊥BC，
∴四边形BCDE为矩形，
∴∠AED=90°，∠CDE=∠BED=90°，BE=CD，
在Rt△AED中，∠A=60°，F为AD的中点，
∴AF=

1

2

AD=EF，
∴△AEF为等边三角形，
∴∠DFE=180°-60°=120°，
∵EF=DF，
∴∠FDE=∠FED=30°．
∴∠CDF=∠BEF=120°，
在△BEF和△FDC中，

DF=EF ∠CDF=∠BEF=120° DC=BE

，
∴△BEF≌△CDF（SAS）．（6分）（其他情况证明略）

（3）若CD=2，则AD=4，
∵∠A=60°，
∴sin60°=

DE

AD

=

3

2

，
∴DE=AD·

3

2

=2

3

∴DE=BC=2

3

，
∵四边形AECD为平行四边形，
∴S_△ECF与S_{四边形AECD}等底同高，
∴S_△ECF=

1

2

S_{四边形AECD}=

1

2

CD·DE=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
S_△CBE=

1

2

BE·BC=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
∴S_{四边形BCFE}=S_△ECF+S_△EBC=2

3

+2

3

=4

3

．（9分）