试题

如图，BC∥AM，∠A=90°，∠BCD=75°，点E在AB上，△CDE为等边三角形，BM交 CD于F，下列结论：①∠ADE=45°，②AB=BC，③EF⊥CD，④若∠AMB=30°，则CF=DF．其中正确的有（　　）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④

B
解：∵BC∥AM，
∴∠BCD+∠CDA=180°，
∵∠BCD=75°，
∴∠CDA=105°，
∵△CDE为等边三角形，
∴∠CDE=60°，
∴∠EDA=105°-60°=45°，所以①正确；
过C作CG⊥AM，如图，
∵∠A=90°，
∴四边形ABCG为矩形，
∴∠DCG=90°-∠BCD=15°，
而△CDE为等边三角形，
∴∠DCE=60°，CE=CD，
∴∠BCE=75°-60°=15°，
∴Rt△CBE≌Rt△CGD，
∴BC=CG，
∴AB=BC，所以②正确；
∵AG=BC，而AG≠MD，
∴CF：FD=BC：MD≠1，
∴F点不是CD的中点，
∴EF不垂直CD，所以③错误；
若∠AMB=30°，则∠CBF=30°，
∴在Rt△AMB中，BM=2AB，
∴BM=2BC，
∵∠BCD=75°，
∴∠BFC=180°-30°-75°=75°，
∴BF=BC，
∴MF=BF，
而CB∥AM，
∴CF：FD=BF：MF=1，
∴CF=FD，所以④正确．
故选B．