试题

题目：
青果学院如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AB、AC上，且DE⊥AB．若DE将ABC分成面积相等的两部分，且S△ABC=20，AE=8，则AD=
（
26
+
6
）或（
26
-
6
）
（
26
+
6
）或（
26
-
6
）
．
答案
（
26
+
6
）或（
26
-
6
）

青果学院解：过点D作DF⊥AE于F，
∵S△ABC=20，DE将ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ADE=
1
2
×20=10，
∵AE=8，
1
2
×8·DF=10，
解得DF=
5
2
，
∵DF⊥AE，DE⊥AB，
∴∠A+∠ADF=90°，∠ADF+∠EDF=90°，
∴∠A=∠EDF，
又∵∠ADF=∠DFE=90°，
∴△ADF∽△DFE，
∴
AF
DF
=
DF
EF
，
∴DF2=AF·EF，
即（
5
2
）2=AF·（8-AF），
整理得，4AF2-32AF+25=0，
解得AF=
8±
39
2
，
在Rt△ADF中，根据勾股定理，AD2=DF2+AF2，
代入数据得，AD2=（
5
2
）2+（
8±
39
2
）2=
25
4
+
103±16
39
4
，
=32±4
39
，
=26±2
156
+6，
=（
26
）2±2
26
×
6
+（
6
）2，
=（
26
±
6
）2，
所以，AD=（
26
+
6
）或（
26
-
6
）．
故答案为：（
26
+
6
）或（
26
-
6
）．
考点梳理
勾股定理．
过点D作DF⊥AE于F，根据△ABC的面积求出△ADE的面积并求出DF的长度，再根据△ADF和△DFE相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出AF，然后在Rt△ADF中，利用勾股定理列式求解即可得到AD的长度．
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，作出辅助线构造出Rt△ADF并利用相似三角形对应边成比例求出AF的长度是解题的关键．
应用题．
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