试题

（2008·西湖区模拟）如图1是由两块全等的含30°角的直角三角板摆放而成，斜边AC=10．
（1）若将△ADE沿直线AE翻折到如图2的位置，ED'与BC交于点F，求证：CF=EF；
（2）求EF的长；
（3）将图2中的△AD'E沿直线AE向右平移到图3的位置，使D'点落在BC上，求出平移的距离．

（1）证明：∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，AB=AD，
根据翻折对称性，AD′=AD，
∴AD′=AB，
∴AC-AD′=AE-AB，
即CD′=BE，
在△CD′F与△EBF中，

∠CD′F=∠EBF ∠CFD′=∠RFB CD′=BE

，
∴△CD′F≌△EBF（AAS），
∴CF=EF（全等三角形对应边相等）；

（2）解：∵∠C=30°，AC=10，
∴AB=

1

2

AC=

1

2

×10=5，
∴EB=10-AB=5，
在△EFB中，∠FEB=30°，
∴BF=

1

2

EF，
根据勾股定理得EF²=BF²+EB²，
∴EF²=（

1

2

EF）²+5²，
解得EF=

10 3

3

；

（3）解：根据平移，D′D″∥AB，
又∵AD′=AB=5，CD′=10-AD′=5，
∴D′D″是△ABC的中位线，
∵∠C=30°，AC=10，
∴D′D″=

1

2

AB=

1

2

×

1

2

AC=

1

2

×

1

2

×10=

5

2

，
故平移距离

5

2

．
（1）证明：∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，AB=AD，
根据翻折对称性，AD′=AD，
∴AD′=AB，
∴AC-AD′=AE-AB，
即CD′=BE，
在△CD′F与△EBF中，

∠CD′F=∠EBF ∠CFD′=∠RFB CD′=BE

，
∴△CD′F≌△EBF（AAS），
∴CF=EF（全等三角形对应边相等）；

（2）解：∵∠C=30°，AC=10，
∴AB=

1

2

AC=

1

2

×10=5，
∴EB=10-AB=5，
在△EFB中，∠FEB=30°，
∴BF=

1

2

EF，
根据勾股定理得EF²=BF²+EB²，
∴EF²=（

1

2

EF）²+5²，
解得EF=

10 3

3

；

（3）解：根据平移，D′D″∥AB，
又∵AD′=AB=5，CD′=10-AD′=5，
∴D′D″是△ABC的中位线，
∵∠C=30°，AC=10，
∴D′D″=

1

2

AB=

1

2

×

1

2

AC=

1

2

×

1

2

×10=

5

2

，
故平移距离

5

2

．