试题

如图，在△ABC中，∠B=15°，△ABC的面积为2，过点A作AD⊥AB交BC或BC的延长线于点D，MN垂直平分BD，垂足为N，交AB于点M．
（1）求证：BM=2AD；
（2）设BC=x，BD=y．求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域．

（1）证明：∵MN垂直平分BD，
∴BM=MD，
∴∠MBD=∠MDB=15°，
∴∠AMD=∠MBD+∠MDB=30°，
又∵△AMD是直角三角形，
∴MD=2AD（30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∵BM=MD，
∴BM=2AD；

（2）解：过点A作AH⊥BD于点H，则
S_△ABC=

1

2

BC·AH=2，
∴AH=

4

x

，
又∵AH=ABsin15°=BDcos15°·sin15°，
∴AH=ycos15°·sin15°，
∴

4

x

=ycos15°·sin15°=y×

6 + 2

4

×

6 - 2

4

=

y

4

，
∴y=

16

x

（x＞0）．

注：设AD=1，则MD=2，AM=

MD2-AD2

=

22-12

=

3

，
∴AB=BM+AM=2+

3

，
BD=

AB2+AD2

=

(2+ 3 )2+12

=

6

+

2

，
∴sin15°=

AD

BD

=

1

6 + 2

=

6 - 2

4

，
cos15°=

AB

BD

=

2+ 3

6 + 2

=

6 + 2

4

．
（1）证明：∵MN垂直平分BD，
∴BM=MD，
∴∠MBD=∠MDB=15°，
∴∠AMD=∠MBD+∠MDB=30°，
又∵△AMD是直角三角形，
∴MD=2AD（30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∵BM=MD，
∴BM=2AD；

（2）解：过点A作AH⊥BD于点H，则
S_△ABC=

1

2

BC·AH=2，
∴AH=

4

x

，
又∵AH=ABsin15°=BDcos15°·sin15°，
∴AH=ycos15°·sin15°，
∴

4

x

=ycos15°·sin15°=y×

6 + 2

4

×

6 - 2

4

=

y

4

，
∴y=

16

x

（x＞0）．

注：设AD=1，则MD=2，AM=

MD2-AD2

=

22-12

=

3

，
∴AB=BM+AM=2+

3

，
BD=

AB2+AD2

=

(2+ 3 )2+12

=

6

+

2

，
∴sin15°=

AD

BD

=

1

6 + 2

=

6 - 2

4

，
cos15°=

AB

BD

=

2+ 3

6 + 2

=

6 + 2

4

．