试题

题目：
青果学院如图，△ABC是一个边长为1的等边三角形，BB1是△ABC的高，B1B2是△ABB1的高，B2B3是△AB1B2的高，B3B4是△AB2B3的高，…Bn-1Bn是△ABn-2Bn-1的高
（1）求BB1的长；
（2）填空：B1B2的长为
3
4
3
4
，B2B3的长为
3
8
3
8
；
（3）根据（1）、（2）的计算结果，猜想写出Bn-1Bn的值（用含n的代数式表示，n为正整数）．
答案
3
4

3
8

解：（1）∵△ABC是一个边长为1的等边三角形，BB1是△ABC的高
∴BC=1，B1C=
1
2

∵在直角三角形BB1C中
BC2=BB12+B1C2
∴BB1=
BC2-B1C2
=
12-(
1
2
)2
=
3
2
；

（2）∵△ABC是一个边长为1的等边三角形，BB1是△ABC的高
∴AB1=
1
2

∵B1B2是△ABB1的高
∴
1
2
×B1B2×AB=
1
2
×AB1×BB1
∵BB1=
3
2

∴B1B2=
3
4
．
同理可得B2B3=
3
8
．

（3）猜想：Bn-1Bn=
3
2n
．
考点梳理
勾股定理；等边三角形的性质．
本题要根据等边三角形的性质、勾股定理的多次运用求解，再根据规律推出Bn-1Bn的值．
本题是开放性试题，要求具备较强的逻辑推理能力．
规律型．
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