试题

题目：
青果学院如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=2，AB=2
3
，△ACD是等边三角形．
（1）求∠ABC的度数．
（2）以点A为中心，把△ABD顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．
（3）求BD的长度．
答案
青果学院解：（1）Rt△ABC中，tan∠ABC=
AC
AB
=
2
2
3
=
3
3

∴∠ABC=30°

（2）如图所示：

（3）连接BE．
由（2）知：△ACE≌△ADB，
∴AE=AB，∠BAE=60°，BD=EC，
∴BE=AE=AB=2
3
，∠EBA=60°，
∴∠EBC=90°，
又BC=2AC=4，
∴Rt△EBC中，EC=
BE2+BC2
=
(2
3
)2+42
=2
7
，
∴BD=EC=2
7
．
青果学院解：（1）Rt△ABC中，tan∠ABC=
AC
AB
=
2
2
3
=
3
3

∴∠ABC=30°

（2）如图所示：

（3）连接BE．
由（2）知：△ACE≌△ADB，
∴AE=AB，∠BAE=60°，BD=EC，
∴BE=AE=AB=2
3
，∠EBA=60°，
∴∠EBC=90°，
又BC=2AC=4，
∴Rt△EBC中，EC=
BE2+BC2
=
(2
3
)2+42
=2
7
，
∴BD=EC=2
7
．
考点梳理
作图-旋转变换；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
（1）利用正切的知识可得出答案．
（2）根据旋转角度、旋转中心、旋转方向找出各点的对称点，顺次连接即可；
（3）根据旋转的性质可得△ACE≌△ADB，从而确定∠EBC=90°，然后利用勾股定理即可解答．
本题考查旋转作图及三角形的有关知识，综合性较强，有一定难度，注意熟练运用旋转的性质及勾股定理．
计算题；作图题．
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