试题

题目：
青果学院（2013·嘉定区一模）如图，弧EF所在的⊙O的半径长为5，正三角形ABC的顶点A、B分别在半径OE、OF上，点C在弧EF上，∠EOF=60°，如果AB⊥OF，那么这个正三角形的边长为
5
21
7
5
21
7
．
答案
5
21
7

解：青果学院
过C作CM⊥AB于M，连接OC，
设正三角形ABC的边长是x，
则MB=
1
2
AB=
1
2
x，∠BAC=60°，
由勾股定理得：CM=
3
2
x，
∵∠EOF=∠CAB=60°，AB⊥OF，
∴∠OAB=30°，∠OBA=90°，
∴OA2=OC2-AC2=25-x2，
在Rt△ABO中，OA=
AB
sin∠AOB
=
2x
3
，
OA2=
4x2
3
，
25-x2=
4x2
3
，
x=
5
21
7
，
故答案为：
5
21
7
．
考点梳理
等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
过C作CM⊥AB于M，连接OC，设正三角形ABC的边长是x，则MB=
1
2
AB=
1
2
x，由勾股定理求出CM=
3
2
x，根据勾股定理求出OA2=25-x2，在Rt△ABO中，OA=
OB
sin∠AOB
=
2x
3
，得出方程25-x2=
4x2
3
，求出即可．
本题考查了等边三角形性质，勾股定理，解直角三角形等知识点的应用，解此题的关键是能得出关于x的方程．
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