试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD，CE分别是AB边上的中线和高．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AC=2，求△CDE的周长．
答案
（1）证明：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
∴CD=AD=DB．
∵∠B=30°，
∴∠A=60°．
∴△ACD是等边三角形．
∵CE是斜边AB上的高，
∴AE=ED．

（2）解：由（1）得AC=CD=AD=2ED，
又AC=2，
∴CD=2，ED=1．
∴CE=
22-1
=
3
．
∴△CDE的周长=CD+ED+CE=2+1+
3
=3+
3
．
（1）证明：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
∴CD=AD=DB．
∵∠B=30°，
∴∠A=60°．
∴△ACD是等边三角形．
∵CE是斜边AB上的高，
∴AE=ED．

（2）解：由（1）得AC=CD=AD=2ED，
又AC=2，
∴CD=2，ED=1．
∴CE=
22-1
=
3
．
∴△CDE的周长=CD+ED+CE=2+1+
3
=3+
3
．
考点梳理
勾股定理；等边三角形的判定．
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CD=AD，根据直角三角形的两个锐角互余，得∠A=60°，从而判定△ACD是等边三角形，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可证明；
（2）结合（1）中的结论，求得CD=2，DE=1，只需根据勾股定理求得CE的长即可．
此题综合运用了直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形的两个锐角互余．
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
计算题；证明题．
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