试题

如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且OM=6cm，∠OMN=30°，等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴的正半轴上，点A恰好落在线段MN上，如图2，将等边△ABC从图1的位置沿x轴正方向以1cm/s的速度平移，边AB、AC分别与线段MN交于点E、F，在△ABC平移的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，当点P达到点C时，点P停止运动，△ABC也随之停止平移．设△ABC平移时间为t（s），△PEF的面积为S（cm²）．
（1）求等边△ABC的边长；
（2）当点P在线段BA上运动时，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）点P沿折线B→A→C运动的过程中，是否在某一时刻，使△PEF为等腰三角形？若存在，求出此时t值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，OM=6cm，∠OMN=30°，
∴∠ONM=60°，
∵△ABC为等边三角形
∴∠AOC=60°，∠NOA=30°
∴OA⊥MN，即△OAM为直角三角形，
∴OA=

1

2

OM=

1

2

×6=3．

（2）∵OM=6cm，∠OMN=30°，
∴ON=2

3

，MN=4

3

．
∵△OMN∽△BEM，
∴

MB

MN

=

BE

ON

，
∴

6-t

4 3

=

EB

2 3

，
BE=

6-t

2

，
当点P在BE上时，
PE=BE-PB=

6-t

2

-2t=

6-5t

2

，
∵∠A=60°，∠AFE=30°，
∴EF=

3

AE=

3

（3-BE）=

3

（3-

6-t

2

）=

3

2

t，
∴△PEF的面积S=

1

2

×EF×PE=

1

2

×

3

2

t×

6-5t

2

，
即S=

3 (6t-5t2)

8

=-

5 3 t 2-6 3 t

8

（0＜t＜

5

6

）；
当点P在AE上时，PE=PB-BE=2t-

6-t

2

=

5t-6

2

，
∵∠A=60°，∠AFE=30°，
∴EF=

3

AE=

3

（3-BE）=

3

（3-

6-t

2

）=

3

2

t，
∴△PEF的面积S=

1

2

×EF×PE=

1

2

×

3

2

t×

5t-6

2

，
即S=

3 (5t2-6t)

8

=

5 3 t 2-6 3 t

8

（

5

6

＜t≤3）；

（3）存在，有三种情况：
①当点P在线段AB上时，
点P在AB上运动的时间为

3

2

s，
∵△PEF为等腰三角形，∠PEF=90°，
∴PE=EF，
∵∠A=60°，∠AFE=30°，
∴EF=

3

AE=

3

（3-BE）=

3

（3-

6-t

2

）=

3

2

t，
∴

6-5t

2

=

3

2

t或

5t-6

2

=

3

2

t，
解得t=

15-3 3

11

或

15+3 3

11

＞

3

2

（故舍去），
②当点P在AF上时，
若PE=PF时，点P为EF的垂直平分线与AC的交点，
此时P为直角三角形PEF斜边AF的中点，
∴PF=AP=2t-3，
∵点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，
∴0＜t＜3，
在直角三角形中，cos30°=

EF 2

PF

=

3 t

8t-12

=

3

2

，
解得：t=2，
若FE=FP，
AF=

EF

cos∠AFE

=

EF

cos30°

=t，
则t-（2t-3）=

3

2

t，
解得：t=12-6

3

；
③当PE=EF，P在AE上时无解，
综上，存在t值为

15-3 3

11

或12-6

3

或2时，△PEF为等腰三角形．
解：（1）∵直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，OM=6cm，∠OMN=30°，
∴∠ONM=60°，
∵△ABC为等边三角形
∴∠AOC=60°，∠NOA=30°
∴OA⊥MN，即△OAM为直角三角形，
∴OA=

1

2

OM=

1

2

×6=3．

（2）∵OM=6cm，∠OMN=30°，
∴ON=2

3

，MN=4

3

．
∵△OMN∽△BEM，
∴

MB

MN

=

BE

ON

，
∴

6-t

4 3

=

EB

2 3

，
BE=

6-t

2

，
当点P在BE上时，
PE=BE-PB=

6-t

2

-2t=

6-5t

2

，
∵∠A=60°，∠AFE=30°，
∴EF=

3

AE=

3

（3-BE）=

3

（3-

6-t

2

）=

3

2

t，
∴△PEF的面积S=

1

2

×EF×PE=

1

2

×

3

2

t×

6-5t

2

，
即S=

3 (6t-5t2)

8

=-

5 3 t 2-6 3 t

8

（0＜t＜

5

6

）；
当点P在AE上时，PE=PB-BE=2t-

6-t

2

=

5t-6

2

，
∵∠A=60°，∠AFE=30°，
∴EF=

3

AE=

3

（3-BE）=

3

（3-

6-t

2

）=

3

2

t，
∴△PEF的面积S=

1

2

×EF×PE=

1

2

×

3

2

t×

5t-6

2

，
即S=

3 (5t2-6t)

8

=

5 3 t 2-6 3 t

8

（

5

6

＜t≤3）；

（3）存在，有三种情况：
①当点P在线段AB上时，
点P在AB上运动的时间为

3

2

s，
∵△PEF为等腰三角形，∠PEF=90°，
∴PE=EF，
∵∠A=60°，∠AFE=30°，
∴EF=

3

AE=

3

（3-BE）=

3

（3-

6-t

2

）=

3

2

t，
∴

6-5t

2

=

3

2

t或

5t-6

2

=

3

2

t，
解得t=

15-3 3

11

或

15+3 3

11

＞

3

2

（故舍去），
②当点P在AF上时，
若PE=PF时，点P为EF的垂直平分线与AC的交点，
此时P为直角三角形PEF斜边AF的中点，
∴PF=AP=2t-3，
∵点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，
∴0＜t＜3，
在直角三角形中，cos30°=

EF 2

PF

=

3 t

8t-12

=

3

2

，
解得：t=2，
若FE=FP，
AF=

EF

cos∠AFE

=

EF

cos30°

=t，
则t-（2t-3）=

3

2

t，
解得：t=12-6

3

；
③当PE=EF，P在AE上时无解，
综上，存在t值为

15-3 3

11

或12-6

3

或2时，△PEF为等腰三角形．