试题

设n是正整数，0＜x≤1，在△ABC中，如果AB=n+x，BC=n+2x，CA=n+3x，BC边上的高AD=n，那么，这样的三角形共有（　　）
A．10个
B．11个
C．12个
D．无穷多个

C
解：已知n是正整数，0＜x≤1，AB=n+x，BC=n+2x，CA=n+3x，可知在△ABC的三个角中，∠C最小，
根据余弦定理，得
AB²=BC²+CA²-2BC·CA·cosC
cosC=（BC²+CA²-AB²）÷（2BC·CA）
=[（n+2x）²+（n+3x）²-（n+x）²]÷[2·（n+2x）·（n+3x）]
=（n+6x）÷[2·（n+3x）]
在RT△ADC中，
CD=CA·cosC=（n+3x）·（n+6x）÷[2·（n+3x）]=（n+6x）÷2
根据勾股定理，得
CA²=AD²+CD2
（n+3x）²=n²+（n+6x）²÷4
n=12x
x=n÷12
0＜x≤1
0＜n÷12≤1
0＜n≤12
因n是正整数，故这样的三角形最多共有12个．
故选C．