试题

把两个三角形按如图1放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，AB=6，DC=7．把△DCE绕C点顺时针旋转15°，得到△D₁CE₁，如图2，这时AB与CD₁相交于点O，与D₁E₁相交于点F．
（1）求∠ACD₁的度数；
（2）求AD₁的长；
（3）如果把△D₁CE₁绕C点再顺时针旋转30°，这时点B在△D₁CE₁的内部、外部、还是在边D₁E₁上？利用图3，画出图形，并说明理由．

解：（1）如图2所示，∵∠D=30°，∠ACB=∠DEC=90°，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACD=30°，
∵把△DCE绕C点顺时针旋转15°，
∴∠3=15°，∠E₁=90°，
∴∠ACD₁=30°+15°=45°；

（2）如图2所示，连接AD₁，
∵∠3=15°，∠E₁=90°，
∴∠1=∠2=75°，
又∵∠B=45°，
∴∠OFE₁=∠B+∠1=45°+75°=120°；
∴∠D₁FO=60°，
∵∠CD₁E₁=30°，
∴∠4=90°，
又∵AC=BC，∠A=45°
即△ABC是等腰直角三角形．
∴OA=OB=

1

2

AB=3cm，
∵∠ACB=90°，
∴CO=

1

2

AB=

1

2

×6=3（cm），
又∵CD₁=7（cm），
∴OD₁=CD₁-OC=7-3=4（cm），
在Rt△AD₁O中，AD1=

OA2+O D 2 1

=

32+42

=5（cm）；

（3）点B在△D₁CE₁内部，
理由如下：如图3，设BC（或延长线）交D₁E₁于点P
则∠PCE₁=15°+30°=45°，
∵∠D=30°，DC=7cm，
∴CE₁=

7

2

cm，
∵AB=6，∠A=45°，
∴BC=6×

2

2

=3

2

（cm），
在Rt△PCE₁中，CP=

2

CE₁=

7 2

2

（cm），
∵CB=3

2

＜

7 2

2

，即CB＜CP，
∴点B在△D₁CE₁内部．
解：（1）如图2所示，∵∠D=30°，∠ACB=∠DEC=90°，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACD=30°，
∵把△DCE绕C点顺时针旋转15°，
∴∠3=15°，∠E₁=90°，
∴∠ACD₁=30°+15°=45°；

（2）如图2所示，连接AD₁，
∵∠3=15°，∠E₁=90°，
∴∠1=∠2=75°，
又∵∠B=45°，
∴∠OFE₁=∠B+∠1=45°+75°=120°；
∴∠D₁FO=60°，
∵∠CD₁E₁=30°，
∴∠4=90°，
又∵AC=BC，∠A=45°
即△ABC是等腰直角三角形．
∴OA=OB=

1

2

AB=3cm，
∵∠ACB=90°，
∴CO=

1

2

AB=

1

2

×6=3（cm），
又∵CD₁=7（cm），
∴OD₁=CD₁-OC=7-3=4（cm），
在Rt△AD₁O中，AD1=

OA2+O D 2 1

=

32+42

=5（cm）；

（3）点B在△D₁CE₁内部，
理由如下：如图3，设BC（或延长线）交D₁E₁于点P
则∠PCE₁=15°+30°=45°，
∵∠D=30°，DC=7cm，
∴CE₁=

7

2

cm，
∵AB=6，∠A=45°，
∴BC=6×

2

2

=3

2

（cm），
在Rt△PCE₁中，CP=

2

CE₁=

7 2

2

（cm），
∵CB=3

2

＜

7 2

2

，即CB＜CP，
∴点B在△D₁CE₁内部．