试题

题目：
青果学院证明题：
如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
求证：AC=EF．
答案
青果学院证明：∵Rt△ABC中∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，BC=
1
2
AB，
∵△ABE是等边三角形，
∴∠EAF=60°，
∵EF⊥AB，
∴AF=BF=
1
2
AB，即AF=BC，
在Rt△ABC与Rt△EAF中，
∵
∠ABC=∠EAF
AF=BC
∠ACB=∠AFE=90°

∴Rt△ABC≌Rt△EAF，
∴AC=EF．
青果学院证明：∵Rt△ABC中∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，BC=
1
2
AB，
∵△ABE是等边三角形，
∴∠EAF=60°，
∵EF⊥AB，
∴AF=BF=
1
2
AB，即AF=BC，
在Rt△ABC与Rt△EAF中，
∵
∠ABC=∠EAF
AF=BC
∠ACB=∠AFE=90°

∴Rt△ABC≌Rt△EAF，
∴AC=EF．
考点梳理
等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
先根据Rt△ABC中∠BAC=30°可知∠ABC=60°，BC=
1
2
AB，再由△ABE是等边三角形可知∠EAF=60°，由EF⊥AB可知AF=BF=
1
2
AB，即AF=BC，根据全等三角形的判定定理可知Rt△ABC≌Rt△EAF，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．
本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质及全等三角形的判定定理，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
证明题．
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