试题

题目：
解方程：2（x2+
1
x2
）-3（x+
1
x
）-1=0．
答案
解：原方程可化为2（x+
1
x
）2-2×2-3（x+
1
x
）-1=0
即：2（x+
1
x
）2-3（x+
1
x
）-5=0
设x+
1
x
=y，则2y2-3y-5=0，即（2y-5）（y-1）=0．
解得y=
5
2
或y=1．
当y=
5
2
时，x+
1
x
=
5
2
，即2x2-5x+2=0
解得x=
1
2
或x=2．
经检验x=
1
2
或x=2是原方程的根．
当y=1时，x+
1
x
=1，即x2-x+1=0
△=1-4=-3＜0
∴此方程无解．
∴原方程的根是x=
1
2
或x=2．
解：原方程可化为2（x+
1
x
）2-2×2-3（x+
1
x
）-1=0
即：2（x+
1
x
）2-3（x+
1
x
）-5=0
设x+
1
x
=y，则2y2-3y-5=0，即（2y-5）（y-1）=0．
解得y=
5
2
或y=1．
当y=
5
2
时，x+
1
x
=
5
2
，即2x2-5x+2=0
解得x=
1
2
或x=2．
经检验x=
1
2
或x=2是原方程的根．
当y=1时，x+
1
x
=1，即x2-x+1=0
△=1-4=-3＜0
∴此方程无解．
∴原方程的根是x=
1
2
或x=2．
考点梳理
换元法解分式方程．
整理可知，方程的两个分式具备平方关系，设x+
1
x
=y，则原方程化为2y2-3y-5=0．用换元法解一元二次方程先求y，再求x．注意检验．
考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
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