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附加题：如图，正方形ABCD正方形ABCD中，BD是对角线，E、F点分别在BC、CD边上，且△AEF是等边三角形．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）过点D作DG⊥BD交BC延长线于点G，在DB上截取DH=DA，连接HG．请你参考下面方框中的方法指导，证明：GH=GE．
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如图，正方形ABCD的边长是8，点F在AD上，点E在AB的延长线上，CE⊥CF，且CE=10，求DF的长度．
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如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：四边形BEDF是菱形． -
如图，任意四边形ABCD，对角线AC、BD交于O点，过各顶点分别作对角线AC、BD的平行线，四条平行线围成一个四边形EFGH．试想当四边形ABCD的形状发生改变时，
四边形EFGH的形状会有哪些变化？完成以下题目：
（1）当ABCD为任意四边形时，EFGH为平行四边形平行四边形；
当ABCD为矩形时，EFGH为菱形菱形；
当ABCD为菱形时，EFGH为矩形矩形；
当ABCD为正方形时，EFGH为正方形正方形；
当EFGH是矩形时，ABCD为对角线垂直的四边形对角线垂直的四边形；
当EFGH是菱形时，ABCD为对角线相等的四边形对角线相等的四边形；
当EFGH是正方形时，ABCD为对角线相等且垂直的四边形对角线相等且垂直的四边形．
（2）请选择（1）中任意一个你所写的结论进行证明．
（3）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？ -
如图，长为2，宽为a的矩形纸片（1＜a＜2），剪去一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；
（1）第一次操作后剩下的矩形长为a，宽为2-a2-a；
（2）再把第一次操作后剩下的矩形剪去一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．
①求第二次操作后剩下的矩形的面积；
②若在第3次操作后，剩下的图形恰好是正方形，求a的值． -
（2012·槐荫区一模）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求证：BG=GC；
（3）求△CFG的面积． -
（2012·东莞模拟）如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点做EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点．AE与CF交于M，HE与CF交于N．
（1）求证：∠DAE=∠BEA，AH=CE；
（2）探究线段HE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由． -
（2012·昌平区二模）类比学习：
有这样一个命题：设x、y、z都是小于1的正数，求证：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1．
小明同学是这样证明的：如图，作边长为1的正三角形ABC，并分别在其边上截取AD=x，BE=z，CF=y，设△ADF、△CEF和△BDE的面积分别为S1、S2、S3，
则S1=
x(1-y)sin60°，1 2
S2=
y(1-z)sin60°，1 2
S3=
z(1-x)sin60°．1 2
由 S1+S2+S3＜S△ABC，得
x(1-y)sin60°+1 2
y(1-z)sin60°+1 2
z(1-x)sin60°＜1 2
．3 4
所以 x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1．
类比实践：
已知正数a、b、c、d，x、y、z、t满足a+x=b+y=c+z=d+t=k．
求证：ay+bz+ct+dx＜2k2． -
（2012·白云区一模）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的角平分线交DC于点E，点P、Q分别是边AD和AE上的动点（两动点不重合）．
（1）PQ+DQ的最小值是22 2．2
（2）说出PQ+DQ取得最小值时，点P、Q的位置，并在图中画出；
（3）请对（2）中你所给的结论进行证明． -
（2011·蜀山区二模）如图1所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，BE交AC于F，点P是AC上任意一点，连接PD、PE．
（1）如图2，P1P2是AC上的两点，观察并比较P1D+P1E与P2D+P2E的大小（只须说明结论，不必说明理由）；
（2）若P3是AC上另外一点，且P3D+P3E比P1D+P1E与P2D+P2E都小，你能确定P3的大致位置吗？
（3）在对角线AC上是否存在点P，使PD+PE的和最小？若不
存在，请说明理由；若存在，请说出这个最小值，并证明你的结论．