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在平面直角坐标系中，设P（-1，1），Q（2，3），x轴上有一点R，则PR+RQ的最小值为55．
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（2013·六盘水）（1）观察发现
如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：
作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：
作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为3 ．3
（2）实践运用
如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，
的度数为60°，点B是
AC
的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为AC 2 ．2 
（3）拓展延伸
如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法． -
（2012·十堰）阅读材料：
例：说明代数式
+x2+1
的几何意义，并求它的最小值．(x-3)2+4
解：
+x2+1
=(x-3)2+4
+(x-0)2+12
，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则(x-3)2+22
可以看成点P与点A（0，1）的距离，(x-0)2+12
可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．(x-3)2+22
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3
，即原式的最小值为32
．2
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式
+(x-1)2+1
的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B(x-2)2+9 （2，3）（2，3）的距离之和．（填写点B的坐标）
（2）代数式
+x2+49
的最小值为x2-12x+37 1010． -
（2012·凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．
如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′．
②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．
（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请直接写出△PDE周长的最小值：88． -
（2009·漳州）几何模型：
条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；
（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；
（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值． -
（2007·庆阳）需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．
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（2006·巴中）如图：
（1）若把图中小人平移，使点A平移到点B，请你在图中画出平移后的小人；
（2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l上点P处喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，试在图中画出点P的位置． -
（2013·石景山区一模）问题解决：
已知：如图，D为AB上一动点，分别过点A、B作CA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B，联结CD、DE．
（1）请问：点D满足什么条件时，CD+DE的值最小？
（2）若AB=8，AC=4，BE=2，设AD=x．用含x的代数式表示CD+DE的长（直接写出结果）．
拓展应用：
参考上述问题解决的方法，请构造图形，并求出代数式
+x2+1
的最小值．(4-x)2+4 -
（2012·青田县模拟）为了探索代数式
+x2+1
的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则AC=(8-x)2+25
，CE=x2+1
，则问题即转化成求AC+CE的最小值．(8-x)2+25
（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得
+x2+1
的最小值等于(8-x)2+25 1010，此时x=4 3 ；4 3
（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式
+x2+4
的最小值．(12-x)2+9 -
（2012·溧水县一模）七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：
如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．
我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P．
有很多问题都可用类似的方法去思考解决．
探究：
（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是5 ；5
运用：
（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是（2，0）（2，0）；
操作：
（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）