试题

已知以A（0，2）、B（2，0）、O（0，0）三点为顶点的三角形被直线y=ax-a分成两部分，设靠近原点O一侧那部分的面积为S，试写出用a表示的S的解析式．

解：易知直线AB的方程为y=-x+2（0≤x≤2），
直线y=ax-a过定点C（1，0）．分两种情况讨论：
（1）直线y=ax-a与线段OA相交，设交点为E，
则靠近原点O一侧的图形是三角形．
在方程y=ax-a中，令x=0，得y=-a＞0，
所以S=

1

2

×OE×OC=

1

2

×(-a)×1=-

a

2

，
由0＜OE≤2，所以-2≤a＜0，
得到S=-

a

2

(-2≤a＜0）；

（2）直线y=ax-a与线段BA相交，设交点为D，
则靠近原点O一侧的图形是四边形．
由

y=ax-a y=-x+2

解得D点坐标为(

2+a

1+a

，

a

1+a

)，
所求四边形面积为S=S_△OAB-S_△DCB，S=2-

1

2

×1×

a

1+a

=

4+3a

2(1+a)

，
由D在线段BA上，所以

0≤ 2+a 1+a ＜2 0＜ a 1+a ≤2

，解得a≤-2或a＞0，
所以S=

4+3a

2(1+a)

(a≤-2或a＞0)，
综合（1）（2）得S=

- a 2 (-2≤a＜0) 4+3a 2(1+a) (a≤-2或a＞0)

．
解：易知直线AB的方程为y=-x+2（0≤x≤2），
直线y=ax-a过定点C（1，0）．分两种情况讨论：
（1）直线y=ax-a与线段OA相交，设交点为E，
则靠近原点O一侧的图形是三角形．
在方程y=ax-a中，令x=0，得y=-a＞0，
所以S=

1

2

×OE×OC=

1

2

×(-a)×1=-

a

2

，
由0＜OE≤2，所以-2≤a＜0，
得到S=-

a

2

(-2≤a＜0）；

（2）直线y=ax-a与线段BA相交，设交点为D，
则靠近原点O一侧的图形是四边形．
由

y=ax-a y=-x+2

解得D点坐标为(

2+a

1+a

，

a

1+a

)，
所求四边形面积为S=S_△OAB-S_△DCB，S=2-

1

2

×1×

a

1+a

=

4+3a

2(1+a)

，
由D在线段BA上，所以

0≤ 2+a 1+a ＜2 0＜ a 1+a ≤2

，解得a≤-2或a＞0，
所以S=

4+3a

2(1+a)

(a≤-2或a＞0)，
综合（1）（2）得S=

- a 2 (-2≤a＜0) 4+3a 2(1+a) (a≤-2或a＞0)

．