试题
题目：
若实数a、b、c满足a
2
+b
2
+c
2
=9，那么代数式（a-b）
2
+（b-c）
2
+（c-a）
2
的最大值是
27
27
．
答案
27
解：∵a
2
+b
2
+c
2
=（a+b+c）
2
-2ab-2ac-2bc，
∴-2ab-2ac-2bc=a
2
+b
2
+c
2
-（a+b+c）
2
①
∵（a-b）
2
+（b-c）
2
+（c-a）
2
=2a
2
+2b
2
+2c
2
-2ab-2ac-2bc ②
②代入①，得（a-b）
2
+（b-c）
2
+（c-a）
2
=3a
2
+3b
2
+3c
2
-（a+b+c）
2
=3（a
2
+b
2
+c
2
）-（a+b+c）
2
=3×9-（a+b+c）
2
=27-（a+b+c）
2
，
∵（a+b+c）
2
≥0，
∴其值最小为0，
故原式最大值为27．
故答案为：27．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
不等式的性质．
由展开代数式（a-b）
2
+（b-c）
2
+（c-a）
2
，然后将其转化为两数差的形式（a-b）
2
+（b-c）
2
+（c-a）
2
=27-（a+b+c）
2
，
最后根据不等式的性质a
2
+b
2
≥2ab来解答．
本题主要考查了不等式的基本性质a
2
+b
2
≥2ab．在解答此题时，还利用了非负数的性质（a+b+c）
2
≥0．
计算题．
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