试题

题目:
十名篮球运动员身穿1至10号的球衣围成一个圆圈.证明一定存在三个相邻的队员,它们的球衣号码数加起来一定大于17.
答案
解:设球员的球衣号分别是a1,a2,…a10,全部球衣号码之和是A,则三个相邻的球衣号加起来就是:
A=(a1+a2+a3)+(a2+a3+a4)+…+(a10+a1+a2
A=3×(a1+a2+··+a10)=3×(1+2+3+…+10)=165,
假定不存在三个队员号码加起来大于17,则相邻三个队员的号码加起来≤16,
所以A≤16+16+··+16=16×10=160,矛盾可证.
故一定存在三个相邻的队员,它们球衣号码加起来大于17.
解:设球员的球衣号分别是a1,a2,…a10,全部球衣号码之和是A,则三个相邻的球衣号加起来就是:
A=(a1+a2+a3)+(a2+a3+a4)+…+(a10+a1+a2
A=3×(a1+a2+··+a10)=3×(1+2+3+…+10)=165,
假定不存在三个队员号码加起来大于17,则相邻三个队员的号码加起来≤16,
所以A≤16+16+··+16=16×10=160,矛盾可证.
故一定存在三个相邻的队员,它们球衣号码加起来大于17.
考点梳理
推理与论证.
首先假设所有相邻的三个数,它们的和都小于17,则它们的和小于等于16,由10个数的和的最值比较,得出矛盾,从而得出假设不成立,原命题正确.
本题考查推理与论证,难度比较大,解答本题的关键是运用反证法进行证明,这是本题的突破口.
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