试题

（2012·利川市一模）折纸与证明---用纸折出黄金分割点：
第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．
第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）

证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=

1

2

．
在Rt△BCF中，BF=

BC2+CF2

=

5

2

，
则A′F=BF-BA′=

5

2

-1．
设AG=A′G=x，则GD=1-x，
在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F²+A'G²=DF²+DG²，
即(

5

2

-1)2+x2=(

1

2

)2+(1-x)2，
解得x=

5 -1

2

，
即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．
证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=

1

2

．
在Rt△BCF中，BF=

BC2+CF2

=

5

2

，
则A′F=BF-BA′=

5

2

-1．
设AG=A′G=x，则GD=1-x，
在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F²+A'G²=DF²+DG²，
即(

5

2

-1)2+x2=(

1

2

)2+(1-x)2，
解得x=

5 -1

2

，
即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．