试题

（2008·白下区二模）如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0〕，B（3，4〕，C（0，4〕．点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度向A运动，同时点Q从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点Q作 QD丄x轴，垂足为点D，交AC于点E．
（1）求△APE的面积S与运动时间t（单位：秒）的函数关系式，并写出自变量t的 取值范围；
（2）当t为何值时，S的值最大；
（3）是否存在点P，使得△APE为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

解：（1）经过t秒时，BQ=t，OP=2t，则CQ=3-t，AP=4-2t，
∵A（4，0〕，C（0，4〕．
∴AO=CO，
∵∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵CB∥AO，
∴∠BCA=∠OAC=45°，
∴QE=CQ=3-t，
∴DE=1+t，
∴S_△APE=

1

2

AP×DE=

1

2

（4-2t）（1+t）=-t²+t+2（0≤t≤2）．
∴S=-t²+t+2（0≤t≤2）；

（2）S=-t²+t+2，
=-(t-

1

2

) 2+

9

4

，
∵0≤t≤2，
∴当t=

1

2

时，S的值最大．

（3）存在，
若∠AEP=90°，则DE是等腰直角三角形APE底边AP上的高，
∴DE=AD=

1

2

AP，
∴1+t=

1

2

（4-2t），
解得：t=

1

2

，
∴P的坐标是（1，0）；
若∠APE=90°，则此时PE与DE重合，
∴PE=DE=PA，
1+t=4-2t，
t=1，
∴P的坐标是（2，0），
综上所述P的坐标为（1，0）或（2，0）．
解：（1）经过t秒时，BQ=t，OP=2t，则CQ=3-t，AP=4-2t，
∵A（4，0〕，C（0，4〕．
∴AO=CO，
∵∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵CB∥AO，
∴∠BCA=∠OAC=45°，
∴QE=CQ=3-t，
∴DE=1+t，
∴S_△APE=

1

2

AP×DE=

1

2

（4-2t）（1+t）=-t²+t+2（0≤t≤2）．
∴S=-t²+t+2（0≤t≤2）；

（2）S=-t²+t+2，
=-(t-

1

2

) 2+

9

4

，
∵0≤t≤2，
∴当t=

1

2

时，S的值最大．

（3）存在，
若∠AEP=90°，则DE是等腰直角三角形APE底边AP上的高，
∴DE=AD=

1

2

AP，
∴1+t=

1

2

（4-2t），
解得：t=

1

2

，
∴P的坐标是（1，0）；
若∠APE=90°，则此时PE与DE重合，
∴PE=DE=PA，
1+t=4-2t，
t=1，
∴P的坐标是（2，0），
综上所述P的坐标为（1，0）或（2，0）．