试题

（2010·广州一模）已知：在四边形ABCD中，AB=4cm，点E，F，G，H分别按A→B，B→C，C→D，D→A的方向同时出发，以1cm/秒的速度匀速运动．在运动过程中，设四边形EFGH的面积为S平方厘米，运动时间为t秒（0≤t≤4）．
（1）当四边形ABCD为正方形时，如图1所示，求证：四边形EFGH是正方形；
（2）当四边形ABCD为菱形，且∠A=30°时，如图3所示．在运动过程中，四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

解：（1）
①∵点E，F，G，H在四条边上的运动速度相同
∴AE=BF=CG=DH（1分）
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=DA，
∴EB=HA
∴△AEH≌△BFE（SAS）（2分）
∴EH=FE（全等三角形的对应边相等）
同理可得：EH=FE=GF=HG
∴四边形EFGH是菱形．（3分）
又∵∠BEF+∠BFE=90°，∠AEH=∠BFE
∴∠BEF+∠AEH=90°
∴∠FEH=90°
∴四边形EFGH为正方形．（有一个角是直角的菱形是正方形）（4分）

（2）四边形EFGH的面积存在最小值，理由如下：（9分）
由条件，易证△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH．
作HM⊥AE于M，作FN⊥EB，交EB的延长线于N，
设运动t秒后，四边形EFGH的面积S取最小值，则AE=t，AH=4-t，
又在Rt△AMH中，∠HAM=30°，
∴HM=

1

2

AH=

1

2

(4-t)．
同理得FN=

1

2

BF=

1

2

t．
故S△AEH=

1

2

AE·HM=

1

4

t(4-t)，
S△EBF=

1

2

EB·FN=

1

4

t(4-t)．（11分）
又S_{正方形ABCD}=4×2=8，（12分）
∴四边形EFGH的面积S=8-4·

1

4

t(4-t)=t2-4t+8．（13分）
∴S=（t-2）²+4，
当t=2秒时，四边形EFGH的面积取最小值等于4cm²．（14分）
解：（1）
①∵点E，F，G，H在四条边上的运动速度相同
∴AE=BF=CG=DH（1分）
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=DA，
∴EB=HA
∴△AEH≌△BFE（SAS）（2分）
∴EH=FE（全等三角形的对应边相等）
同理可得：EH=FE=GF=HG
∴四边形EFGH是菱形．（3分）
又∵∠BEF+∠BFE=90°，∠AEH=∠BFE
∴∠BEF+∠AEH=90°
∴∠FEH=90°
∴四边形EFGH为正方形．（有一个角是直角的菱形是正方形）（4分）

（2）四边形EFGH的面积存在最小值，理由如下：（9分）
由条件，易证△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH．
作HM⊥AE于M，作FN⊥EB，交EB的延长线于N，
设运动t秒后，四边形EFGH的面积S取最小值，则AE=t，AH=4-t，
又在Rt△AMH中，∠HAM=30°，
∴HM=

1

2

AH=

1

2

(4-t)．
同理得FN=

1

2

BF=

1

2

t．
故S△AEH=

1

2

AE·HM=

1

4

t(4-t)，
S△EBF=

1

2

EB·FN=

1

4

t(4-t)．（11分）
又S_{正方形ABCD}=4×2=8，（12分）
∴四边形EFGH的面积S=8-4·

1

4

t(4-t)=t2-4t+8．（13分）
∴S=（t-2）²+4，
当t=2秒时，四边形EFGH的面积取最小值等于4cm²．（14分）