试题

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4厘米，BC=8厘米，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=12厘米，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合．如果等腰△PQR以2厘米/秒的速度沿直线l按箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米．
（1）当t=2时，求S的值；
（2）当6≤t≤10时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

解：（1）由题意得：当t=2时，Q点远动到BC中点处，如图所示，此时三角形与梯形的重合部分为△MQC，其中点M为PQ与CD的交点，
易知QC=4，∠PQC=30°，∠QCM=60°，∴∠QMC=90°，
在Rt△QMC中，有MC=2，QM=2

3

，
可以S_△MQC=

1

2

QM·MC=

1

2

×2

3

×2=2

3

（cm ²）；

（2）当t=6时，点R运动到点C处，点P运动到点A处，因此当6≤t≤10时，点P在点A及其左侧，
如图所示，点F为AB与PR的交点，
△PQR与梯形ABCD的重合部分为△MQC，
由于∠FBR=60°，∠FRB=30°，
∴△FBR为Rt△，
∵RC=2t-12，
∴BR=BC-RC=8-（2t-12）=20-2t=2（10-t），
∴FB=

1

2

BR=10-t，
FR=

3

（10-t），
故S_△FBR=

1

2

FB·FR=

3

2

（10-t）²，
即S与t的函数关系式为：S=

3

2

（10-t）²，（6≤t≤10），
当t=6时，S取到最大值且最大值为：S=8

3

（cm ²）．
解：（1）由题意得：当t=2时，Q点远动到BC中点处，如图所示，此时三角形与梯形的重合部分为△MQC，其中点M为PQ与CD的交点，
易知QC=4，∠PQC=30°，∠QCM=60°，∴∠QMC=90°，
在Rt△QMC中，有MC=2，QM=2

3

，
可以S_△MQC=

1

2

QM·MC=

1

2

×2

3

×2=2

3

（cm ²）；

（2）当t=6时，点R运动到点C处，点P运动到点A处，因此当6≤t≤10时，点P在点A及其左侧，
如图所示，点F为AB与PR的交点，
△PQR与梯形ABCD的重合部分为△MQC，
由于∠FBR=60°，∠FRB=30°，
∴△FBR为Rt△，
∵RC=2t-12，
∴BR=BC-RC=8-（2t-12）=20-2t=2（10-t），
∴FB=

1

2

BR=10-t，
FR=

3

（10-t），
故S_△FBR=

1

2

FB·FR=

3

2

（10-t）²，
即S与t的函数关系式为：S=

3

2

（10-t）²，（6≤t≤10），
当t=6时，S取到最大值且最大值为：S=8

3

（cm ²）．