试题

已知a²+b²=1，-

2

≤a+b≤

2

，求a+b+ab的取值范围．

解：∵a²+b²=（a+b）²-2ab，a²+b²=1，
∴ab=

(a+b)2-1

2

，
设a+b=t，则-

2

≤t≤

2

，
∴y=a+b+ab=

(a+b)2-1

2

+a+b=

1

2

（t²-1）+t=

1

2

t²+t-

1

2

=

1

2

（t+1）²-1，
∴t=-1时，y有最小值为-1，
t=

2

时，y有最大值，此时y=

1

2

（

2

+1）²-1=

2 2 +1

2

，
∴-1≤y≤

2 2 +1

2

，
即a+b+ab的取值范围为-1≤a+b+ab≤

2 2 +1

2

．
解：∵a²+b²=（a+b）²-2ab，a²+b²=1，
∴ab=

(a+b)2-1

2

，
设a+b=t，则-

2

≤t≤

2

，
∴y=a+b+ab=

(a+b)2-1

2

+a+b=

1

2

（t²-1）+t=

1

2

t²+t-

1

2

=

1

2

（t+1）²-1，
∴t=-1时，y有最小值为-1，
t=

2

时，y有最大值，此时y=

1

2

（

2

+1）²-1=

2 2 +1

2

，
∴-1≤y≤

2 2 +1

2

，
即a+b+ab的取值范围为-1≤a+b+ab≤

2 2 +1

2

．