试题

题目：
已知a、b是关于x的一元二次方程x2-2mx+m2+4m-2=0的两个实数根，那么a2+b2的最小值是
1
2
1
2
．
答案
1
2

解：由根与系数的关系得，a+b=2m，ab=m2+4m-2，
所以，a2+b2=（a+b）2-2ab，
=4m2-2（m2+4m-2），
=2m2-8m+4，
=2（m-2）2-4，
∵方程有两个实数根，
∴△=b2-4ac=（-2m）2-4×1×（m2+4m-2）≥0，
解得m≤
1
2
，
∵2＞0，
∴m＜2时，a2+b2的值随m的增大而减小，
∴当m=
1
2
时，a2+b2的值最小，为2（
1
2
-2）2-4=
1
2
．
故答案为：
1
2
．
考点梳理
二次函数的最值；根与系数的关系．
利用根与系数的关系表示出a+b，ab，再根据完全平方公式整理成关于m的式子，再利用根的判别式求出m的值，然后根据二次函数的增减性求出最小值．
本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了根与系数的关系，完全平方公式，根的判别式，难点在于利用根的判别式求出m的取值范围．
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