试题

题目：
设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，当m为何值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值．
答案
解：∵x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，
∴△=（-4m）2-4×2×（2m2+3m-2）≥0，可得m≤
2
3
，
又x1+x2=2m，x1x2=
2m2+3m-2
2
，
∴x12+x22=2( m-
3
4
) 2+
7
8
=2(
3
4
-m)2+
7
8
，
∵m≤
2
3
，
∴
3
4
-m≥
3
4
-
2
3
＞0，
∴当m=
2
3
时，x12+x22取得最小值为2×(
3
4
-
2
3
) 2+
7
8
=
8
9
．
解：∵x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，
∴△=（-4m）2-4×2×（2m2+3m-2）≥0，可得m≤
2
3
，
又x1+x2=2m，x1x2=
2m2+3m-2
2
，
∴x12+x22=2( m-
3
4
) 2+
7
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=2(
3
4
-m)2+
7
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，
∵m≤
2
3
，
∴
3
4
-m≥
3
4
-
2
3
＞0，
∴当m=
2
3
时，x12+x22取得最小值为2×(
3
4
-
2
3
) 2+
7
8
=
8
9
．
考点梳理
二次函数的最值；根的判别式；根与系数的关系．
由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手．
本题考查了某一区间的条件限制的二次函数最值问题及根的判别式，难度较大，关键掌握：当抛物线的顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值，当抛物线的顶点不在该区间内，二次函数的最值在区间内两端点处取得．
计算题．
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