试题

在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC．
（1）试写出四边形DFCE的面积S（cm²）与时间t（s）之间的函数关系式并写出自变量t的取值范围．
（2）试求出当t为何值时四边形DFCE的面积为20cm²？
（3）四边形DFCE的面积能为40吗？如果能，求出D到A的距离；如果不能，请说明理由．
（4）四边形DFCE的面积S（cm²）有最大值吗？有最小值吗？若有，求出它的最值，并求出此时t的值．

解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，
∴∠A=∠C=45°，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴∠AED=∠C=∠A，∠BFD=∠C=45°，∠BDF=∠A=45°，∠EDA=∠B=90°，
∴AD=DE=2t，BD=BF=12-2t
①S=

1

2

×12×12-

1

2

×2t×2t-

1

2

（12-2t）²=-4t²+24t（0≤t≤6）．

②当S=20时，-4t²+24t=20，
t²-6t+5=0，
解得t₁=5，t₂=1；
因此当t=1s或5s时，四边形的面积为20cm²．

③当S=40时，-4t²+24t=40，
t²-6t+10=0，
∵△=36-40＜0，
∴四边形的面积不能为40．

④四边形面积有最大值，
S=-4t²+24t=-4（t-3）²+36；
当t=3时，有最大值36，
此时D离A点6cm，D为AB的中点．
解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，
∴∠A=∠C=45°，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴∠AED=∠C=∠A，∠BFD=∠C=45°，∠BDF=∠A=45°，∠EDA=∠B=90°，
∴AD=DE=2t，BD=BF=12-2t
①S=

1

2

×12×12-

1

2

×2t×2t-

1

2

（12-2t）²=-4t²+24t（0≤t≤6）．

②当S=20时，-4t²+24t=20，
t²-6t+5=0，
解得t₁=5，t₂=1；
因此当t=1s或5s时，四边形的面积为20cm²．

③当S=40时，-4t²+24t=40，
t²-6t+10=0，
∵△=36-40＜0，
∴四边形的面积不能为40．

④四边形面积有最大值，
S=-4t²+24t=-4（t-3）²+36；
当t=3时，有最大值36，
此时D离A点6cm，D为AB的中点．