试题

如图，△ABC是边长为1的等边三角形，P是AB边上的一个动点（P与B不重合），以线段CP为边作等边△CPD（D、A在BC的同侧），连接AD．
（1）判断四边形ABCD的形状，并给予证明；
（2）设BP=x，△PAD的面积为y，求出y关于x的函数关系式，并求出△PAD面积的最大值及取得最大值时x的值．

解：（1）四边形ABCD是梯形或菱形，证明如下：
①当点P不与点A重合时，
∵△ABC与△CPD都是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCP=60°，
∴∠1=∠2，
又∵AC=BC，DC=PC，
∴△ADC≌△BPC，
∴∠DAC=∠B=∠BCA=60°，
∴AD∥BC．
又∵∠1=∠2＜60°，
∴∠DCB＜120°，即∠B+∠DCB＜180°，
∴DC与AB不平行，
∴四边形ABCD是梯形；
②当点P与点A重合时，PC与AC重合，此时AB=BC=CA=AD=DC，四边形ABCD是菱形，
综上所述，四边形ABCD是梯形或菱形；

（2）由（1）知∠BAD=120°，AD=BP=x，过P作DA延长线的垂线PM，M为垂足，
则∠PAM=60°，∠APM=30°，
又BP=x，AB=1，
∴AP=1-x，
∴AM=

1

2

(1-x)，PM=

3

2

(1-x)
∴y=

1

2

AD·PM=

1

2

x·

3

2

(1-x)=-

3

4

(x2-x)=-

3

4

(x-

1

2

)2+

3

16

（0＜x＜1）．
当x=

1

2

时，y取最大值为

3

16

，即当x=

1

2

时△PAD面积取得最大面积为

3

16

．
解：（1）四边形ABCD是梯形或菱形，证明如下：
①当点P不与点A重合时，
∵△ABC与△CPD都是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCP=60°，
∴∠1=∠2，
又∵AC=BC，DC=PC，
∴△ADC≌△BPC，
∴∠DAC=∠B=∠BCA=60°，
∴AD∥BC．
又∵∠1=∠2＜60°，
∴∠DCB＜120°，即∠B+∠DCB＜180°，
∴DC与AB不平行，
∴四边形ABCD是梯形；
②当点P与点A重合时，PC与AC重合，此时AB=BC=CA=AD=DC，四边形ABCD是菱形，
综上所述，四边形ABCD是梯形或菱形；

（2）由（1）知∠BAD=120°，AD=BP=x，过P作DA延长线的垂线PM，M为垂足，
则∠PAM=60°，∠APM=30°，
又BP=x，AB=1，
∴AP=1-x，
∴AM=

1

2

(1-x)，PM=

3

2

(1-x)
∴y=

1

2

AD·PM=

1

2

x·

3

2

(1-x)=-

3

4

(x2-x)=-

3

4

(x-

1

2

)2+

3

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（0＜x＜1）．
当x=

1

2

时，y取最大值为

3

16

，即当x=

1

2

时△PAD面积取得最大面积为

3

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