试题

如图，△ABC中，BC=6，AC=4

2

，∠C=45°，P为BC边上的动点，过P作PD∥AB交AC于点D，连接AP，△ABP，△APD，△CDP的面积分别记为S₁，S₂，S₃，设BP=x．
（1）试用x的代数式分别表示S₁，S₂，S₃；
（2）当P点在什么位置时，△APD的面积最大，并求最大值．

解：（1）过A作AE⊥BC，则AE为BC边上的高，
由Rt△AEC中，AC=4

2

，∠C=45°，得到此三角形为等腰直角三角形，
∴sin45°=

AE

AC

，即AE=ACsin45°=4

2

×

2

2

=4，
则△ABC中BC边上的高为4，设△CDP中PC边上的高为h，
则

h

4

=

6-x

6

·h=

2

3

(6-x)(0＜x＜6)；
这样S₁=2x，S₃=

1

2

(6-x)·

2

3

(6-x)=

1

3

(6-x)2，
S₂=12-2x-

1

3

(6-x)2=-

1

3

x2+2x；

（2）S₂=-

1

3

x2+2x=-

1

3

(x2-6x+9)+3=-

1

3

(x-3)2+3，
所以当x=3时，y有最大值3；此时BP=3，即P是BC的中点．
解：（1）过A作AE⊥BC，则AE为BC边上的高，
由Rt△AEC中，AC=4

2

，∠C=45°，得到此三角形为等腰直角三角形，
∴sin45°=

AE

AC

，即AE=ACsin45°=4

2

×

2

2

=4，
则△ABC中BC边上的高为4，设△CDP中PC边上的高为h，
则

h

4

=

6-x

6

·h=

2

3

(6-x)(0＜x＜6)；
这样S₁=2x，S₃=

1

2

(6-x)·

2

3

(6-x)=

1

3

(6-x)2，
S₂=12-2x-

1

3

(6-x)2=-

1

3

x2+2x；

（2）S₂=-

1

3

x2+2x=-

1

3

(x2-6x+9)+3=-

1

3

(x-3)2+3，
所以当x=3时，y有最大值3；此时BP=3，即P是BC的中点．