试题

题目:
已知实数a,b满足a2+b2=1,则a4+ab+b4的最小值为(  )



答案
B
解:∵(a-b)2=a2-2ab+b2≥0,
∴2|ab|≤a2+b2=1,
∴-
1
2
≤ab≤
1
2

令y=a4+ab+b4=(a2+b22-2a2b2+ab=-2a2b2+ab+1=-2(ab-
1
4
2+
9
8

当-
1
2
≤ab≤
1
4
时,y随ab的增大而增大,
1
4
≤ab≤
1
2
时,y随ab的增大而减小,
故当ab=-
1
2
时,a4+ab+b4的最小值,为-2(-
1
2
-
1
4
2+
9
8
=-2×
9
16
+
9
8
=0,
即a4+ab+b4的最小值为0,当且仅当|a|=|b|时,ab=-
1
2
,此时a=-
2
2
,b=
2
2
,或 a=
2
2
,b=-
2
2

故选B.
考点梳理
二次函数的最值;完全平方公式.
利用完全平方公式把a4+ab+b4配成关于ab的二次三项式,再根据平方数非负数(a-b)2=a2-2ab+b2求出ab的取值范围,然后根据二次函数的最值问题解答.
本题考查了二次函数的最值问题,完全平方公式,配方成关于ab的形式并求出ab的取值范围是解题的关键.
常规题型.
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