试题
题目:
已知实数a,b满足a
2
+b
2
=1,则a
4
+ab+b
4
的最小值为( )
A.
-
1
8
B.0
C.1
D.
9
8
答案
B
解:∵(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2
≥0,
∴2|ab|≤a
2
+b
2
=1,
∴-
1
2
≤ab≤
1
2
,
令y=a
4
+ab+b
4
=(a
2
+b
2
)
2
-2a
2
b
2
+ab=-2a
2
b
2
+ab+1=-2(ab-
1
4
)
2
+
9
8
,
当-
1
2
≤ab≤
1
4
时,y随ab的增大而增大,
当
1
4
≤ab≤
1
2
时,y随ab的增大而减小,
故当ab=-
1
2
时,a
4
+ab+b
4
的最小值,为-2(-
1
2
-
1
4
)
2
+
9
8
=-2×
9
16
+
9
8
=0,
即a
4
+ab+b
4
的最小值为0,当且仅当|a|=|b|时,ab=-
1
2
,此时a=-
2
2
,b=
2
2
,或 a=
2
2
,b=-
2
2
.
故选B.
考点梳理
考点
分析
点评
专题
二次函数的最值;完全平方公式.
利用完全平方公式把a
4
+ab+b
4
配成关于ab的二次三项式,再根据平方数非负数(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2
求出ab的取值范围,然后根据二次函数的最值问题解答.
本题考查了二次函数的最值问题,完全平方公式,配方成关于ab的形式并求出ab的取值范围是解题的关键.
常规题型.
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