试题

已知抛物线C₁：y=x²+mx+1的顶点在x轴负半轴上．
（1）求抛物线C₁的顶点坐标；
（2）把抛物线C₁向下平移若干个单位后，得到抛物线C₂，已知C₂与x轴的交点为A（1，0）、B，求抛物线C₂的函数解析式和B点的坐标；
（3）若P（n，y₁）、Q（2，y₂）是抛物线C₁上的两点，且y₁＞y₂．直接写出实数n的取值范围．

解：（1）∵y=x²+mx+1的顶点在x轴负半轴上，
∴b²-4ac=m²-4=0，x=-

m

2

＜0，则m＞0，
解得：m₁=2，m₂=-2（不合题意舍去），
∴y=x²+mx+1=x²+2x+1=（x+1）²，
∴C₁的顶点坐标为（-1，0）；

（2）设C₂的函数关系式为y=（x+1）²+k，
把A（1，0）代入上式得（1+1）²+k=0，得k=-4，
∴C₂的函数关系式为y=（x+1）²-4．
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为A（1，0），
由对称性可知，它与x轴的另一个交点B的坐标为（-3，0）；

（3）当x≥-1时，y随x的增大而增大，
当n≥-1时，
∵y₁＞y₂，
∴n＞2．
当n＜-1时，P（n，y₁）的对称点坐标为（-2-n，y₁），且-2-n＞-1，
∵y₁＞y₂，
∴-2-n＞2，
∴n＜-4．
综上所述：n＞2或n＜-4．
解：（1）∵y=x²+mx+1的顶点在x轴负半轴上，
∴b²-4ac=m²-4=0，x=-

m

2

＜0，则m＞0，
解得：m₁=2，m₂=-2（不合题意舍去），
∴y=x²+mx+1=x²+2x+1=（x+1）²，
∴C₁的顶点坐标为（-1，0）；

（2）设C₂的函数关系式为y=（x+1）²+k，
把A（1，0）代入上式得（1+1）²+k=0，得k=-4，
∴C₂的函数关系式为y=（x+1）²-4．
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为A（1，0），
由对称性可知，它与x轴的另一个交点B的坐标为（-3，0）；

（3）当x≥-1时，y随x的增大而增大，
当n≥-1时，
∵y₁＞y₂，
∴n＞2．
当n＜-1时，P（n，y₁）的对称点坐标为（-2-n，y₁），且-2-n＞-1，
∵y₁＞y₂，
∴-2-n＞2，
∴n＜-4．
综上所述：n＞2或n＜-4．