试题

题目：
（2012·通州区一模）已知如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，若△ABC的边长为1，则△BAE的面积是
3
4
3
4
．
四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，若正方形ABCD的边长为4，则△FAC的面积是
8
8
．
…
如果两个正多边形ABCDE…和BPKGY…是正n（n≥3）边形，正多边形ABCDE …的边长是2a，则△KCA的面积是
2a2sin
360°
n
或（4a2·sin
90°(n-2)
n
×cos
90°(n-2)
n
）
2a2sin
360°
n
或（4a2·sin
90°(n-2)
n
×cos
90°(n-2)
n
）
．（结果用含有a、n的代数式表示）
青果学院
答案
3
4

8

2a2sin
360°
n
或（4a2·sin
90°(n-2)
n
×cos
90°(n-2)
n
）

解：如图1，
∵△ABC与△CDE均为等边三角形，
∴∠DCE=∠BAC=60°，
∴AB∥CE，
过点C作CF⊥AB于点F，则CF即为△BAE的高，
∴△ABC与△BAE同底等高，
∴S△BAE=S△ABC=
1
2
AB·CF=
1
2
×1×
3
2
=
3
4
；
如图2，连接BF，过点B作BM⊥AC于点M，同理可证AC∥BF，故△FAC与△ABC同底等高，
∴S△FAC=S△ABC=
1
2
×4×4=8；
如图3，
正多边形ABCDE…中，过点B作BN⊥AC于点N，同上可得S△KCA=S△ABC，
∵多边形是正多边形，BN⊥AC，
∴∠NBC=
90°×(n-2)
n
，AC=2NC=2AN，
∵BC=2a，
∴在Rt△BCN中，NC=BC·sin
90°×(n-2)
n
，BN=BC×cos
90°×(n-2)
n
，
∴S△KCA=S△ABC=
1
2
AC·BN=
1
2
×2×2a×sin
90°×(n-2)
n
×2a×cos
90°×(n-2)
n
=4a2·sin
90°(n-2)
n
×cos
90°(n-2)
n
=2a2sin
360°
n
．
青果学院
故答案为：2a2sin
360°
n
或（4a2·sin
90°(n-2)
n
×cos
90°(n-2)
n
）
考点梳理
正多边形和圆；三角形的面积．
先根据平行线的判定定理得出AB∥CE，再过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数的定义即可求出CF的长，由三角形的面积公式即可求出△BAE的面积；利用三角形的面积公式即可得出△BAE的面积；连接BF，过点B作BM⊥AC，可先判断出AC∥BF，故可得出BM即为△FAC的高，再根据三角形的面积公式即可得出结论；同以上结论，当两个正多边形ABCDE…和BPKGY…是正n（n≥3）边形，正多边形ABCDE …的边长是2a可得出△ABC与△KCA同底等高，过点B作BN⊥AC于点N，由锐角三角函数的定义可求出BN及AC的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是正多边形和圆，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出同底等高的三角形，再根据三角形的面积公式求解．
规律型．
找相似题