试题

题目:
青果学院(2010·台湾)如图,有一圆内接正八边形ABCDEFGH,若△ADE的面积为10,则正八边形ABCDEFGH的面积为何(  )



答案
A
青果学院解:过C作CL⊥AD于L,连接HE,则四边形ADEH是矩形;
设正八边形的边长为a,AD=h,
则S△ADE=
1
2
DE·AD=
1
2
ah=10,ah=20,即S矩形ADEH=20,
∵正八边形的内角度数为
180°×(8-2)
8
=135°,
∴∠LCD=135°-90°=45°,
∴△CDL是等腰直角三角形,设CL=x,
∴CD2=CL2+LD2,即a2=x2+x2,x=
2
2
a,
∴AD=h=a+
2
a,
∵ah=20,
∴(1+
2
)a2=20,a2=
20
1+
2

∴S梯形ABCD=
(BC+AD)·CL
2
=
(a+a+
2
a)·
2
a
2
2
=
2
(2+
2
)a2
4
=
(
2
+1)·
20
1+
2
2
=10,
同理,S梯形EFGH=10,
∴S正八边形ABCDEFGH=S梯形ABCD+S梯形ABCD+S矩形ADEH=10+10+20=40.
故选A.

另解:取AE中点I,则点I为圆的圆心,圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△IDE全等的三角形构成.易得△IDE的面积为5,则圆内接正八边形ABCDEFGH为8×5=40.
考点梳理
正多边形和圆.
过C作CL⊥AD于L,连接HE,设正八边形的边长为a,AD=h;先根据△ADE的面积求出矩形ADEH的面积,再根据正多边形内角和定理求出各内角的度数,判断出△CDL的形状,求出边长;进一步可求出梯形ABCD的面积,根据S正八边形ABCDEFGH=S梯形ABCD+S梯形ABCD+S矩形ADEH即可解答.
本题比较复杂,涉及到正多边形的性质、直角三角形的性质及梯形的面积公式,解答此题的关键是作出辅助线构造出直角三角形解答.
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