试题

如图，五边形ABCDE是正五边形，有一点P，满足两个条件：△BCD与△PCD面积相等，且△ABP是等腰三角形，则以下四个命题正确的是．
①当点P在正五边形ABCDE的内部时，满足条件的点P有三个；
②当点P在正五边形ABCDE的边上时，点P与点E重合；
③当点P在正五边形ABCDE的外部时，满足条件的点P只有一个；
④在正五边形ABCDE的平面内，满足条件的点P有五个．

解：过B作BM⊥CD于M，过E作EN⊥CD于N，
则∠BMC=∠END=90°，BM∥EN，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC=FD，AB=AE，∠BCD=∠FDC，
∵∠BCM+∠BCD=180°，∠FDC+∠FDN=180°，
∴∠BCM=∠FDN，
在△BMC和△FND中

∠BCM=∠EDN ∠BMC=∠FND BC=ED

∴△BMC≌△END，
∴BM=EN，
∵BM∥EN，
∴四边形BMNE是平行四边形，
∴BM=EN，
即△BCD面积和△ECD面积相等，
∴当P和E重合时，符合已知△BCD与△PCD面积相等，且△ABP是等腰三角形；
作直线GH∥CD，且直线CD和直线GH之间的距离是BM，作线段AB的垂直平分线交BE于P₂，交GH于P₃，此时的两点符合已知△BCD与△PCD面积相等，且△ABP是等腰三角形；
以B为圆心，以AB为半径作弧，交BE于P₄，此时符合已知△BCD与△PCD面积相等，且△ABP是等腰三角形；
∴当点P在正五边形ABCDE的内部时，满足条件的点P有二个，如有P₂，P₄，∴①错误；
当点P在正五边形ABCDE的边上时，点P与点E重合，∴②正确；
当点P在正五边形ABCDE的外部时，满足条件的点P只有一个，如有P₃，∴③正确；
在正五边形ABCDE的平面内，满足条件的点P有2+1+1=4个，∴④错误；
故答案为：②③．