试题

题目：
如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．若设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，则r：a=
1：1
1：1
；r：b=
3
：2
3
：2
；青果学院正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值是
3：4
3：4
．
答案
1：1

3
：2

3：4

青果学院解：连接OE、OG，OF，
∵EF=a，且正六边形T1，
∴△OEF为等边三角形，OE为圆的半径r，
∴a：r=1：1；
由题意可知OG为∠FOE的平分线，即∠EOG=
1
2
∠EOF=30°，
在Rt△OEG中，OE=r，OG=b，
∵
OE
OG
=
r
b
2
=cos∠EOG=cos30°，即
r
b
=
3
2
，
∵r：a=1：1①；r：b=
3
：2②；
∴②：①得，a：b=
3
：2，且两个正六边形T1，T2相似，
∴S1：S2=a2：b2=3：4．
故答案为：r：a=1：1；r：b=
3
：2；S1：S2=3：4．
考点梳理
正多边形和圆．
根据题意画出图形，连接OE、OG，OF，由正六边形T1，得到∠EOF为60°，从而得到△EOF为等边三角形，即a=r，故得到a：r=1：1；在Rt△EOG中，由OG为角平分线，得到∠EOG=30°，利用特殊角的三角函数可求出OE及OG的长，即为r：b的比值，然后求出a：b的比值，根据正六边形T1，T2相似，其面积之比等于边长之比的平方，即可求出面积之比．
本题考查的是正多边形和圆及特殊角的三角函数值，解答此题的关键是根据题意画出图形，再由三角函数的定义及特殊角的三角函数值求解．
数形结合．
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