试题

（2013·德城区二模）阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r₁，r₂，腰上的高为h，连接AP，则S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC，即：

1

2

AB·r₁+

1

2

AC·r₂=

1

2

AB·h，∴r₁+r₂=h
（1）理解与应用
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在    三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r₁，r₂，r₃，试证明：r1+r2+r3=

3

．
（2）类比与推理
边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于；
（3）拓展与延伸
若边长为2的正n边形A₁A₂…An内部任意一点P到各边的距离为r₁，r₂，…r_n，请问r₁+r₂+…r_n是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．

解：（1）分别连接AP，BP，CP，作AD⊥BC于D，
∴∠ADB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∴BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理，得
∴AD=

3

∵S_△ABP+S_△BCP+S_△ACP=S_△ABC．
∴

1

2

AB·r₁+

1

2

BC·r₂+

1

2

AC·r₃=

1

2

BC×AD，
∵BC=AC=AB，
∴r₁+r₂+r₃=AD．
∴r₁+r₂+r₃=

3

（2）如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=2．
∵PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥DC，PH⊥AD，
∴四边形PEBF是矩形，四边形PFCG是矩形，四边形PGDH是矩形，四边形PHAE是矩形，
∴PE=AH，PF=BE，PG=HD，PH=AE，
∴PE+PF+PG+PH=AH+BE+HD+AE=AD+AB=4．
故答案为4．

（3）设正n边形的边心距为r，且正n边形的边长为2，
∴S_正n边形=

2r

2

×n．r=

1

tan 180 n

，
∵S_正n边形=

1

2

×2×r₁+

1

2

×2×r₂+

1

2

×2×r₁+…+

1

2

×2×r_n，
∴

1

2

×2×r₁+

1

2

×2×r₂+

1

2

×2×r₁+…+

1

2

×2×r_n=

2r

2

×n，
∴r₁+r₂+…+r_n=nr=

n

tan 180 n

（为定值）．