试题

题目：
青果学院如图，等腰直角△ABC和等边△AEF都是半径为R的圆的内接三角形．
（1）求AF的长；
（2）通过对△ABC和△AEF的观察，请你先猜想谁的面积大，再证明你的猜想．
答案
青果学院解：（1）连接OF，过O作OG⊥AF于G，OF=R，
又∵△AEF为等边三角形，
∴∠AOF=120°，
∴∠GOF=60°，
∴GF=
3
2
R，则AF=
3
R

（2）S△ABC＜S△AEF，
∵直角△ABC是等腰直角三角形．
∴AB=2R，
∴AC=
2
R，
∴S△ABC=R2
S△AEF=3×
1
2
OG·AF，OG=
1
2
R，S△AEF=
3
4
R·
3
R=
3
3
4
R2＞R2
∴S△ABC＜S△AEF
青果学院解：（1）连接OF，过O作OG⊥AF于G，OF=R，
又∵△AEF为等边三角形，
∴∠AOF=120°，
∴∠GOF=60°，
∴GF=
3
2
R，则AF=
3
R

（2）S△ABC＜S△AEF，
∵直角△ABC是等腰直角三角形．
∴AB=2R，
∴AC=
2
R，
∴S△ABC=R2
S△AEF=3×
1
2
OG·AF，OG=
1
2
R，S△AEF=
3
4
R·
3
R=
3
3
4
R2＞R2
∴S△ABC＜S△AEF
考点梳理
正多边形和圆．
（1）连接OF，过O作OG⊥AF于G，在直角△OGF中，利用三角函数即可求解；
（2）根据外接圆的半径是R，即可求得等腰直角△ABC和等边△AEF的面积，即可作出比较．
本题主要考查了正多边形与圆的计算，正确理解等腰直角三角形的斜边就是外接圆的直径，正多边形的计算可以转化为直角三角形的计算．
计算题；证明题．
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