试题

（2013·婺城区一模）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，有如下探讨：

甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形．如圆内接矩形不一定是正方形．
乙同学：我知道，边数为3时，它是正三角形；我想，边数为5时，它可能也是正五边形…
丙同学：我发现边数为6时，它也不一定是正六边形．如图2，△ABC是正三角形，弧AD、弧BE、弧CF均相等，这样构造的六边形ADBECF不是正六边形．
（1）如图1，若圆内接五边形ABCDE的各内角均相等，则∠ABC=，请简要说明圆内接五边形ABCDE为正五边形的理由．
（2）如图2，请证明丙同学构造的六边形各内角相等．
（3）根据以上探索过程，就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结论与“边数n（n≥3，n为整数）”的关系，提出你的猜想（不需证明）．

解：（1）∵五边形的内角和=（5-2）×180°=540°，
∴∠ABC=

540°

5

=108°，
理由：∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，∠A对着

BDE

，∠B对着

CDA

，
∴

BDE

=

CDA

，
∴

BDE

-

CDE

=

CDA

-

CDE

，即

BC

=

AE

，
∴BC=AE．
同理可证其余各边都相等，
∴五边形ABCDE是正五边形；

（2）由图知∠AFC对

ABC

，
∵

CF

=

DA

，而∠DAF对的

DEF

=

DBC

+

CF

=

AD

+

DBC

=

ABC

，
∴∠AFC=∠DAF．
同理可证，其余各角都等于∠AFC，
故图2中六边形各角相等；

（3）由（1）、（2）可知，当n（n≥3，n为整数）是奇数时，各内角都相等的圆内接多边形是正多边形；
当n（n≥3，n为整数）时偶数时，各内角都相等的圆内接多边形不一定为正多边形．