试题

题目：
（1999·哈尔滨）一个正三角形的周长与一个正六边形的周长相等，则这个正三角形与这个正六边形的面积之比为（　　）



答案
B
解：设正三角形的边长为2a，则正六边形的边长为a；
（1）过A作AD⊥BC于D，则∠BAD=30°，
AD=AB·cos30°=2a·
3
2
=
3
a，
∴S△ABC=
1
2
BC·AD=
1
2
×2a×
3
a=
3
a2．

（2）连接OA、OB，过O作OD⊥AB；青果学院
∵∠AOB=
360°
6
=60°，
∴∠AOD=30°，
OD=
AD
tan30°
=
a
2
3
3
=
3
2
a，
∴S△OAB=
1
2
×a×
3
2
a=
3
a2
4
，
∴S六边形=6S△OAB=6×
3
a2
4
=
3
3
a2
2
，
∴S△ABC：S六边形=
3
a2：
3
3
2
a2=2：3．
故选B．
考点梳理
正多边形和圆．
根据题意画出图形，分别求出正三角形与这个正六边形的面积即可．
本题考查了正三角形及正六边形的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，结合正多边形的性质解答．
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