试题

（2010·拱墅区一模）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC=90°+

1

2

∠A；②EF不可能是△ABC的中位线；③设OD=m，AE+AF=n，则S_△AEF=mn；④以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

B
解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=90°+

1

2

∠A；故①正确；
若△ABC是等边三角形，则三线合一，此时EF是△ABC的中位线；故②错误；
连接AO，过点O作OH⊥AB于H，
∴AO是△ABC的角平分线，
∵OD⊥AC，
∴OH=OD=m，
∴S_△AEF=S_△AOE+S_△AOF=

1

2

AE·OH+

1

2

AF·OD=

1

2

OD·（AE+AF）=

1

2

mn；故③错误；
④∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠BOE，∠FOC=∠OCB，
∵∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=EO，CF=FO，
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切．故④正确．
故选B．